Вариант № 18

Вар.18.

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. Z определена всюду кроме точек, лежащих на прямой

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

или

;

В точке:

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

;

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

Система имеет 4 решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

В т. Нет экстремума

б) т.- стационарная точка

; ;

в т.- нет экстремума

в) т.- стационарная точка

; ;

в т. - нет экстремума

г) т.- стационарная точка

; ;

и

т. - точка максимума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Система имеет два

решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

требуется дополнительное исследование

.Рассмотрим Окрестность этой точки в пределах области :

1)

2)

3)

Следовательно, в точке -нет экстремума.

б) т.- стационарная точка

; ;

и

т. - точка минимума

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона АВ:

на АВ стационарная

точка;

б) сторона ВС:

на ВС стационарные

точки И

В т.:

В т.: и в т.:

в) сторона СЕ:

на СЕ стационарные

точки И

В т.:

г) сторона ЕА:

на ЕА нет стационарных

точек

В т.: и в т.:

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке прямой

Составим функцию Лагранжа:

;

, т. е. т.- стационарная точка

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1)

В т. ф-ция имеет условный минимум в т. и

2) Рассмотрим т. при . Имеем

;

В т.:

Значит:

т. - точка условного минимума

< Предыдущая		Следующая >