Вариант № 15

Вар.15.

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. Z определена всюду кроме точек, лежащих на прямой

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

; ;

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

;

В точке :

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

; ;

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция

Уравнению:

;

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

Т.- стационарная точка

и т.- точка максимума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Т.- стационарная точка

; ;

и В т.-минимум

но

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона СА:

т. - стационарная точка на

стороне СА

В т. А: ; в т. С:

б) сторона СВ:

т.- стационарная точка на

стороне СВ .

в) сторона АВ:

на АВ стационарная

точка. В т. В:

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке прямой

Составим функцию Лагранжа:

;

, т. е. т.- стационарная точка

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1) при условии

Функция имеет условный максимум в т. и

2) Рассмотрим т. При. Имеем

;

В т.: .

Значит:

т. - точка условного максимума

< Предыдущая		Следующая >