Вариант № 01

1. Найти область определения функции и изобразить её на плоскости: .

Для заданной функции область определяется следующими неравенствами: , и или . Первое неравенство определяет область, расположенную выше прямой . Второе неравенство определяет область, расположенную ниже линии параболы . Таким образом, областью определения функции является область, заключённая между прямой и параболой , включая её границы (см. рисунок).

Ответ: .

2. Вычислить частные производные и сложной функции в данной точке: при .

Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам и . В данном случае . Следовательно, ,

. Заметим, что в точке промежуточные переменные равны: . Подставляя в частные производные , получим: , . Ответ: , .

3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке имеют следующие уравнения: а) (касательная плоскость): б) (нормаль). В данном случае . Найдём частные производные от в точке : . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали: , . Или , . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: . (Ошибка в условии, область не закрыта. Закроем её дополнительным ограничением ).

Найдём стационарные точки в области D: . Решая систему , получим стационарную точку , котораяне находится в области D. На границе области D функция имеет вид . Тогда , Стационарная точка не принадлежит области D. На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . Находим значение функции в угловых точках области D: . Сравнивая все значения , видим, что наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение - в точке . Ответ: наибольшее значение функции в точке , наименьшее значение - в точке .

5. Изменить порядок интегрирования: .

Восстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: , . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения парабол и : . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на вертикальную. Из рисунка видим, что данная область является Y – трапецией. На нижней границе , на верхней границе . Поэтому и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл: . Ответ: .

6. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная двумя параболами с общей вершиной в точке и прямой . Снизу тело ограничено плоскостью , сверху – плоскостью (см. рисунки). Таким образом,

. Ответ: .

7. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Это параболоид вращения с вершиной в точке , расположенный над координатной плоскостью ХОУ и ограниченный сверху плоскостью . Спроектируем линию пересечения этой плоскости с параболоидом на плоскость ХОУ: . Таким образом, тело задано в области D, которая является окружностью . В каждой точке окружности переменная Z изменяется от до . Стедовательно, . Ответ: .

8. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Воронка с внешним радиусом, равным 7, и внутренним радиусом, равным 1, разрезана плоскостями и . Тело представляет часть воронки, заключённой между этими плоскостями. Снизу воронка ограничена конической поверхностью , сверху – конической поверхностью . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет , а на плоскости будет или . Уравнение малого конуса переходит в уравнение , а большого конуса – в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: .

9. Найти массу пластинки:

Пластинка занимает область D, изображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда . Ответ: .

10. Найти массу тела: .

Тело представляет часть цилиндра, ограниченную изнутри конической поверхностью. Коническая поверхность пересекается с цилиндрической поверхностью на высоте (см. рмсунок). Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или .

11. Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .

Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . В полярных координатах якобиан преобразования равен . Следовательно, . Ответ: .

12. Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :

.

Массу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где . Следовательно, . Ответ: .

13. Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: .

Работу вычисляем по формуле: . Линия представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке , расположенную в Плоскости . Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра T, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда

.

Ответ: Работа равна .

14. Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : .

Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке:

. Следовательно, . Найдём координаты вектора , где :

. Таким образом, . Найдём единичный вектор нормали : . Так как координаты X и Y вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: .

Ответ:

15. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М: .

Наибольшую скорость характеризует градиент поля: .

Вычислим координаты градиента:

, ,

. Таким образом, .

Величина скорости есть модуль градиегнта: .

Ответ: Наибольбшая скорость изменения поля в заданной точке равна .

16. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : .

По заданному скалярному полю построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем: . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка:

. Для поля градиентов :

.

Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля :

. Из первого равенства следует или . Из второго равенства получим .

Исключим отсюда , пользуясь первым полученным интегралом: . Или . Итак, уравнения векторных линийполя градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:. Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: .

17. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): .

Запишем уравнение плоскости в отрезках: или и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда

.

Ответ:

18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением . Вычислить:

А) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);

В) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY ( воспользоваться формулой Стокса): .

Решение.

А) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.

С плоскостью XOY с плоскостью XOZ с плоскостью YOZ (см. рисунок). Поток поля через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:

. Находим дивергенцию: . Тогда

В) Циркуляцию поля вектора вдоль линии вычислим по формуле Стокса: . Вычислим ротор данного поля:

. Найдём вектор : (это внешняя нормаль, так как ). Вычислим скалярное произведение: . Таким образом, циркуляция векторного поля равна:

. Ответ: .

20. Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В: .

Вычислим ротор вектора :

. Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: ( за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки: . Ответ: .

Следующая >