Вариант 12
Двойные и тройные интегралы
Задача 1.Изменить порядок интегрирования
Выразим переменную Y из уравнений
и 
при условии 
.
Получим 
и 
Область интегрирования ограничена
Ветвью кубической кривой
в отрицательной области, наклонной прямой
И осью OY.
Область интегрирования D задается системой неравенств
Следовательно, двойной интеграл вычисляется по формуле:
Задача 2. Вычислить: 
Задача 3. Вычислить: 
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
Поскольку фигура ограничена дугами окружностей,
Перейдем к полярным координатам:
Уравнения линий принимают вид:
Или
Значит, искомая фигура задается неравенствами:
Площадь фигуры:
Задача 5. Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
.
Решение.
1) Находим уравнение линии 
Пересечения поверхности 
и плоскости 
:
Следовательно, уравнение линии :
- окружность;
2)Перейдём к полярным координатам:
Тогда круг 
: 
Значит: 
Задача 6. Пластинка D задана неравенствами, 
Поверхностная плотность Найти массу пластинки.
,
Решение.
Произведем замену переменных
; 
. Имеем 
; 
;
; 
; 
,
где 
задается неравенствами:
Перейдем к полярным координатам 
Имеем 
