Вариант № 09

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену . Тогда . Получим уравнение , или

. Запишем уравнение в дифференциалах:

. Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: или . Получим: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=−1. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и или . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

. Таким образом, общее решение имеет вид: или . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или .

Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение:. Следовательно, . Общие решение уравнения или . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=−5. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: ,

. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что и . Проинтегрируем первое уравнение по X: . Таким образом, , где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим однородное уравнение первого порядка: . Положим . Тогда . Или . Интегрируем уравнение:

. Или:

. Определим постоянную C1, пользуясь начальным

Условием : . Следовательно, . Тогда

. Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Решим систему методом Крамера: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет

. Или:

. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, .

Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение четвёртого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет четыре корня: . Получаем четыре частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х3 обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: , . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Отсюда находим: . Частное решение уравнения будет . Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные yчн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, находим . Или. Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроим определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим

Систему: . Исключим С1, складывая первое уравнение с третьим, умноженным на (-1) и второе уравнение с третьим, умноженным на (-3). Получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

12. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке М(X,Y) кривой вдвое больше углового коэффициента радиус-вектора точки М.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен . Угловой коэффициент радиус-вектора точки М0 равен . Приравняем эти коэффициенты: . Это равенство должно выполняться для любой точки кривой. Поэтому введём обычные обозначения: . Получим уравнение: . Разделяем переменные и интегрируем: . По условию точка находится на прямой, т. е. . Тогда . Ответ: .

13. Закон ускоренного развития науки, сформулированный Энгельсом, гласит: «Наука развивается пропорционально сумме знаний, унаследованных ею от предшествующего поколения». Определите, во сколько раз возрастёт сумма знаний к 2000 году по отношению к 1975 году, если известно, что сумма знаний удваивается каждый год.

Пусть сумма накопленных знаний к моменту времени T равна V(T). Тогда, по условию задачи, , где K – некоторый коэффициент. Решим уравнение: Пусть в момент сумма знаний была равна V0. Тогда . Известно что за 10 лет сумма удвоится, т. е. . Отсюда находим: . Тогда . В 1975 году сумма знаний составляла величину , а в 2000 стала равной . Следовательно, . Ответ: в раза.

< Предыдущая		Следующая >