Вариант № 04

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные:

. Интегрируем уравнение: . Получим:

. Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Умножим равенство на 3X3 и разрешим его относительно Y: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=E. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём .

Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, . Общие решение уравнения или . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=0. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные:

, . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что

и . Проинтегрируем первое уравнение по X:

. Таким образом, , где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае или . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим однородное уравнение первого порядка: . Положим . Получим: или . Разделяяем переменные: . Интегрируем: или или . Следовательно: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, .

Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Решим систему методом Крамера: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет

. Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, . Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение третьего порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет три корня: . Получаем три частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное

решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему , находим: . Частное решение уравнения будет . Ответ: .

9. .. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

, . Подставим это в исходное уравнение:

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, находим , . Решая систему, получим: Или , . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроим определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Полагая известной величиной, находим: Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычитая второе уравнение из третьего, получим . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(0; 1) и обладающей свойством, что касательная к ней в любой точке пересекает прямую в точке, ордината которой в три раза больше ординаты точки касания.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точки пересечения касательной с осями координат. Положим Положим X=1. Тогда или . Точка является точкой пересечения прямой X=1. По условию задачи . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: , или . Проинтегрируем уравнение: . Координаты точки M(0; 1) должны удовлетворять уравнению, т. е. . Отсюда находим: . Таким образом, . Ответ: .

12. Допустим, что в земле сделано сквозное отверстие, проходящее через её центр. Камень, упавший в отверстие, притягивается центром с силой, пропорциональной расстоянию между ними. Через сколько времени камень пролетит всю землю? Радиус земли

Пусть - расстояние, которое пролетит камень к моменту времени . Тогда расстояние межу камнем и центром земли в момент будет равно . По закону механики . Известно, что при , когда камень находится на поверхности земли, сила притяжения равна , где - масса тела. Следовательно, . Тогда . Итак, имеем уравнение или . Характеристическое уравнение имеет два корня: . Тогда решением однородного уравнения будет . Легко проверить, что решение неоднородного уравнения имеет вид . Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями: . Из первого условия следует: , т. е. . Из второго условия следует: .Таким образом, получаем: . При достижении поверхности с другой стороны земли будет , т. е. . Проводя вычисления, получим:

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >