Вариант № 23

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Разделяем переменные: . Корни знаменателя в правой части равны u1=0, u2=1 и u3=2. Следовательно,

. Или

. Из этого следует: A=1/2, B=−1 и С=3/2. Интегрируем уравнение: . Получим: или . Потенцируем: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=3/4. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: .

Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда . Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Заметим, что является решением этого уравнения. Основное уравнение имеет вид . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение:. Следовательно, . Общее решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1-1=1/3, C1=4/3. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: , . Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

. Таким образом,

, где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим линейное уравнение первого порядка: . Решим его методом Бернулли: . Функцию U найдём из уравнения . Или . Функцию V найдём из уравнения . Подставляя сюда функцию U, получим: . Таким образом, . Определим постоянную C1, пользуясь начальным условием : . Следовательно, и . Определим C2, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Вычитая из первого уравнения второе, получим: . Интегрирем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет или . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3+1 и С2 =С4. Окончательно, .

Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение третьего порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение , или , имеет три корня: . Получаем три частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::, . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему уранений, получим: . Частное решение уравнения будет .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: : . Найдём производные YЧн::

.. Подставим это в исходное уравнение:

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: . Решая систему, находим: . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим или . Положим . Тогда и . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Решая систему, получим: , . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Вычтем из третьегоуравнения второе, получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат до встречи с осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

Выберем точку на кривой . Очевидно, что площадь прямоугольника будет равна . Пусть точка пересечения кривой оси ОХ будет . Тогда площадь части прямоугольника, которая находится между осью ОХ и кривой линией, будет равна . По условию задачи или . Анализ показывает, что знак интеграла и знак произведения всегда совпадают. Это определяется неравенством ( в противном случае кривая не будет делить прямоугольник на части). Таким образом, или или . Продифференцируем уравнение по : или . Заменим точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: или . Рассмотрим первый вариант. Разделяем переменные и интегрируем: . Рассмотрим второй вариант. Разделяем переменные и интегрируем: . Ответ: и .

12. Цепь состоит из последовательно включённых источника постоянного тока напряжения , сопротивления , самоиндукции и выклдючателя, который включается в момент . Найти зависимость силы тока от времени, если падение напряжения на сопротивлении равно ; на самоиндукции равно .

По закону Кирхгоффа сумма напряжений в замкнутой цепи равна нулю. В данном случае . Имеем линейное уравнение первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но . Тогда . Подставляя это в неоднородное уравнение, определим функцию . Или , где - произвольная постоянная. Тогда . При включении ток был равен нулю, т. е. . Окончательно, . Ответ:

< Предыдущая		Следующая >