Вариант № 02

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену Тогда . Получим уравнение , или . Запишем уравнение в дифференциалах: . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Получим: . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=−3/2. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: . Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Потенцируя, находим: . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, или . Общие решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=−2. Тогда частным решением будет . Ответ: .

4. Уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Действительно,

. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что и . Проинтегрируем второе уравнение по Y:

, где φ(X) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь первым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Следовательно, Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае

Ответ:

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует независимая переменная X. Сделаем замену . Тогда . Получим однородное уравнение первого порядка: Сделаем подстановку: . Тогда Отсюда следует, что является частным решением исходного уравнения. Исключаем его из дальнейшего рассмотрения: Или Интегрируем: или . Вернёмся к переменной P: . Из начальных условий следует, что и при . Подставляя это в полученное равенство, находим . Тогда или . Решение не удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, . Подставляя сюда начальные условия, находим . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений:

, где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: . Оба уравнения сократим на : . Из первого уравнения . Подставим это во второе уравнение: или . Отсюда , т. е. или . Далее, . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С4=С1 и С3 =С2. Окончательно, . Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное

решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R1=−1 имеет кратность 1. Значение этого корня совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=−1). Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему , находим: . Частное решение уравнения будет . Или .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, получим: Отсюда находим . Или. Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроим определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Складывая первое уравнение со вторым и первое уравнение с третьим, получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: .

Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M(1; 2) и обладающей свойством, что отрезок любой её касательной, заключённой между осями координат, делится в точке касания в отношении 2:3, считая от оси ординат.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдём точки пересечения касательной с осями координат. Положим Y=0. Тогда или . Точка М1 является точкой пересечения оси ОХ. Положим X=0. Тогда или . Точка М2 является точкой пересечения оси ОУ. По условию задачи , т. е. . Или . Это равенство справедливо для любой точки . Заменим эту точку произвольной точкой , лежащей на кривой . Получим: , или , или . Разрешим уравнение относительно :

. Получаем два уравнения: и . Второе уравнение не имеет действительных решений. Рассмотрим первое: . Разделяем переменные: . Интегрируем: или . Найдём C, учитывая, что кривая проходит через точку М(1, 2): . Таким образом, или . Кривые и удовлетворяют условию задачи. Первая кривая соответствует внешнему делению отрезка, а вторая – внутреннему делению. Повидимому в задаче предполагается внутреннее деление. Ответ: .

12. По закону Торричелли скорость истечения жидкости равна , где X – высота уровня жидкости над отверстием. Определить время полного истечения воды из цилиндрического бака высотой H=6м, диаметром 2L=4м с горизонтальной через круглое отверстие в нижней части бака диаметром 2R=1/6м.

Обозначим через Y(T) объём жидкости в баке в момент времени T. Очевидно, что , где X=X(T) – высота уровня жидкости в баке в момент времени T. Тогда . Сечение круглого отверстия в дне равно . Следовательно, скорость уменьшения объёма жидкости будет равна . Таким образом, , или . Найдём : . С другой стороны (см. рисунок – сечение бака). Тогда (по правилу Дифференцирования интеграла). Подставляя это в предыдущее Уравнение, получим: . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Рассмотрим левый интеграл: . Таким образом, . Подставляя сюда начальное условие , получим: , . По истечению всей жидкости получим . Следовательно, . Подставляя сюда все числовые данные и делая вычисления, получим: мин (секунды были переведены в минуты).

Ответ: Мин.

< Предыдущая		Следующая >