Вариант 12

1)Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.

Функцию на графике можно представить в виде:

Разложим функцию В ряд Фурье с периодом: , где:

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва: .

2) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, определенную на заданном интервале.

Продолжим функцию нечетным образом до периода :

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва: .

3) Решить задачу Штурма – Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию в ряд по собственным функциям.

Задача Штурма – Лиувилля для y(x): .

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид: ,

Граничные условия:

2)

Общее решение имеет вид: Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3)

Общее решение имеет вид: Граничные условия:

;

Система собственных функций .

Проверка на ортогональность собственных функций

Система собственных функций ортогональна.

Разложим в ряд по собственным функциям :

Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,

Где

Значит

4) Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .

Решение

Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям , представимое в виде произведения.

Подставляем его в исходное уравнение

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

При имеем задачу Штурма – Лиувилля для X(x): .

Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к.

3) , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С2=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения свободных колебаний струны:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия Значит

Разлагаем в ряд Фурье по синусам на промежутке : Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое отклонение середины струны В момент времени to =1:

< Предыдущая		Следующая >