1. В плоскости 
дано уравнение линии 
. На какую линию плоскости 
она отображается функцией 
? Привести поясняющие чертежи.
|
Уравнение линии |
Функция |
|
|
|
Решение
Так как
То
Но 
, 
, то есть окружность радиуса 1 в плоскости z отобразится в окружность радиуса 1 в плоскости w: 
2. Выделив в данной функции действительную и мнимую части, выяснить, аналитическая ли она. Вычислить значение (выделить действительную и мнимую части) при данном значении аргумента .
|
Функция |
|
|
|
|
Решение
Выделим действительную и мнимую части данной функции:
Тогда имеем
Проверяем условия Коши — Римана:
Первое условие выполняется 
,
Второе условие выполняется 
, следовательно, функция является аналитической.
Подставим в 
Получим 
3. Вычислить данный интеграл по двум разным контурам 
и 
, используя для этого теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши.
|
Интегралы |
Контур |
Контур |
|
|
|
|
Решение
Найдём особые точки функции 
: 
Изобразим контур интегрирования и данные точки:
- окружность с центром в точке О(0;0), радиуса 1.
Внутри данного контура не лежит ни одна особая точка, следовательно, согласно теореме Коши:
Изобразим контур интегрирования и данные точки:
- окружность с центром в точке О(1;0), радиуса 1.
Внутри данного контура лежит одна особая точка 
- простой полюс, следовательно, согласно теореме Коши:
4. Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и определить область существования полученного разложения.
|
Функция |
|
|
|
|
Приведём данную функцию к виду:
То есть 
Используем разложение 
, 
.
Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Значит при 
и при 
, т. е. при 
и при можно получить разложения полученных выражений в ряд:
Областью существования разложения является область в которой сходятся оба из рядов. То есть круг радиуса 1 с центром в точке z=2. Значит, в круге 
получим разложение в ряд Лорана функции 
5. При помощи теоремы о вычетах вычислить данный интеграл по контуру 
.
|
Интеграл |
Контур |
|
|
|
Решение
Знаменатель подынтегрального выражения обращается в ноль в точках 
и 
, которые находятся внутри контура 
, причем является кратным корнем уравнения 
.
Изобразим контур интегрирования L и данные точки:
Используя теорему о вычетах получим:
Тогда получим:
Ответ: 