Дифференциальное и интегральное исчисление 02

Вариант 10

Задача 1

С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность при имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, Начиная с которого .

Решение

Рассмотрим неравенство

- натуральное

Откуда , .

Следовательно, , где квадратные скобки обозначают целую часть числа. То есть, число 0 является пределом последовательности. Пусть теперь . Тогда

Задача 2

Вычислить предел

Решение

Задача 3

Вычислить производную

Решение

Задача 4

Вычислить производную

Решение

Задача 5

Вычислить логарифмическую производную

Решение

Имеем

Задача 6

Вычислить производную функции, заданной параметрически.

Решение

По формуле имеем

Задача 7

Вычислить производную функции, заданной неявно уравнением

Решение

По формуле .

Имеем ,

Отсюда легко находим :

Задача 8

Найти предел, используя правило Лопиталя.

Решение

Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя

Задача 9

Найти предел, используя правило Лопиталя.

Решение

Неопределённость типа приведём к виду и используем правило Лопиталя

Задача 10

Функцию у = f(x) разложить ли формуле Тейлора и окрестности точки x0 до

Решение

Преобразуем к виду

Делаем замену х-2=t, х=t+2

Используем стандартные разложения

И формулу

Возвращаемся к переменной х:

Задача 11

Вычислить предел двумя способами:

А) используя разложение по формуле Тейлора:

Б) с помощью правила Лопиталя.

Решение

А)

Б)

Задача 12

Построить график функции

A=1, b=3, c=3, d=1, p=-2, q=1.

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Решаем вспомогательное уравнение.,

Первая производная:

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Точки пересечения с осью :

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

, , ,

Точки пересечения с осью :

Пусть х=0

Вертикальные асимптоты: х=1

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты: у=х+5 .

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.

Предел разности исходной функции и функции х+5 на бесконечности равен нулю.

Критические точки: х=-1, х=5

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Случай. х+1=0, х=-1 Итак, ответ этого случая: х=-1.

Случай.,,

Случай. х-5=0, х=5 Итак, ответ этого случая: х=5.

Случай., Итак, ответ этого случая: х=1, х=-1.

Итак, ответ этого случая: . не входит в ОДЗ функции.

Возможные точки перегиба: х=-1

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему. , ,

Случай., Итак, ответ этого случая: х=1.

Случай., Итак, ответ этого случая: .

не входит в ОДЗ функции.

Точки разрыва: х=1

Симметрия относительно оси ординат: нет

Симметрия относительно начала координат: нет

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Рис. 1

Задача 13

Построить график функции

Решение

1). Область определения : .

2). Периодической функция не является

3). График не имеет вертикальних и горизонтальных асимптот.

Наклонная асимптота функции:

4). Пересечение с осью абсцисс (OX):

Пересечения графика с осью OY:

5). Поведение функции в граничных точках области определения:

Поведение функции на бесконечности:

6). Производная данной функции.

Производная функции равна:

Нули производной:

Функция возрастает на: . Функция убывает на:

7). С учётом предыдущих пунктов строим график функции y(x).

Строим график

Рис. 2

Задача 14

Построить график функции

Решение

1). Область определения .

2). Периодической функция не является.

3). Наклонная асимптота функции:

4). Пересечение с осью OY: нет

Пересечения графика с осью OХ:

5). Поведение функции в граничных точках области определения:

Поведение функции на бесконечности:

6). Производная данной функции равна

Определяем положение экстремумов. Решим уравнение

Функция возрастает на:

Функция убывает на:

7). С учётом предыдущих шести пунктов строим график функции y(x).

График функции приведён на рис. 3.

Рис. 3

Задача 15

Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Решение

Преобразуем данную функцию к виду: . Период функции равен . Если вместо подставить , то уравнение не изменится. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси. График состоит из 4х лепестков. Вычислим значения функции , подставляя значения нескольких углов . Получим:

На рис. 4 приведён график.

Рис. 4

Задача 16

Вычислить приближенно указанные величины.

Решение

Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:

, ,

Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:

Задача 17

Вычислить приближенно указанные величины.

Решение

Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:

, ,

Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:

Задача 18

Вычислить частные производные первого порядка

Решение

Вычисляем первые производные:

Задача 19

Вычислить смешанные производные второго порядка и проверить, что они равны.

Решение

Вычисляем первые производные:

Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по х, находим смешанные производные:

Убеждаемся, что равенство выполнено

Задача 20

Найти и исследовать точки экстремума функции.

Решение

Найдём стационарные точки из условия:

;

Решая получившуюся систему уравнений, получим координаты стационарной точки : , , . В выполнено необходимое условие экстремума. проверим выполнение достаточного условия экстремума. Проверим критерий Сильвестра. Вычислим в вторые производные.