Глава 86. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение

Дифференциальное уравнение вида

(8.3.1)

Где и – непрерывные функции, называется Уравнением с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от , а другой – только от . Метод решения такого вида уравнений носит название Разделения переменных.

Запишем производную в ее эквивалентной форме, т. е. как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента, затем умножим на обе части уравнения и поделим на обе части уравнения, полагая, что .

(8.3.2)

Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной , получим

(8.3.3)

Где – произвольная постоянная.

Рассмотрим Примеры решения уравнений методом разделения переменных.

Пример

Найти частное решение уравнения по начальным условиям: при .

Решение

Разделим переменные . Интегрируя обе части этого уравнения, имеем: , где – произвольная постоянная. При потенцировании получаем или . Полученная функция представляет собой семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения используем начальные условия: , т. е. . Окончательно частное решение имеет вид: .

Пример

Найти решение уравнения , проходящее через точку .

Решение

Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах .

Интегрируя, имеем . После интегрирования, получаем: .

Найдем константу. Для этого подставим в общее решение значения . Получим, что , т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака): .

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка Называется неполным, если явно зависит только от одной переменной: либо от , либо от .

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция зависит только от . Переписав это уравнение в виде нетрудно убедиться, что его решением является функция .

2. Пусть функция зависит только от, тогда уравнение имеет вид . Дифференциальное уравнение такого вида называется Автономным. Такие уравнения часто употребляются при математическом моделировании и исследованиях стационарных физических процессов, когда, независимая переменная играет роль времени. В этом случае особый интерес вызывают так называемые точки равновесия, или стационарные точки – нули функции , где производная .