Глава 86. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение
Дифференциальное уравнение вида
, |
(8.3.1) |
Где и – непрерывные функции, называется Уравнением с разделяющимися переменными.
Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от , а другой – только от . Метод решения такого вида уравнений носит название Разделения переменных.
Запишем производную в ее эквивалентной форме, т. е. как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента, затем умножим на обе части уравнения и поделим на обе части уравнения, полагая, что .
(8.3.2) |
Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной , получим
, |
(8.3.3) |
Где – произвольная постоянная.
Рассмотрим Примеры решения уравнений методом разделения переменных.
Пример
Найти частное решение уравнения по начальным условиям: при .
Разделим переменные . Интегрируя обе части этого уравнения, имеем: , где – произвольная постоянная. При потенцировании получаем или . Полученная функция представляет собой семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения используем начальные условия: , т. е. . Окончательно частное решение имеет вид: .
Пример
Найти решение уравнения , проходящее через точку .
Решение
Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах .
Интегрируя, имеем . После интегрирования, получаем: .
Найдем константу. Для этого подставим в общее решение значения . Получим, что , т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака): .
Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка Называется неполным, если явно зависит только от одной переменной: либо от , либо от .
Различают два случая такой зависимости.
1. Пусть функция зависит только от . Переписав это уравнение в виде нетрудно убедиться, что его решением является функция .
2. Пусть функция зависит только от, тогда уравнение имеет вид . Дифференциальное уравнение такого вида называется Автономным. Такие уравнения часто употребляются при математическом моделировании и исследованиях стационарных физических процессов, когда, независимая переменная играет роль времени. В этом случае особый интерес вызывают так называемые точки равновесия, или стационарные точки – нули функции , где производная .
Решение такого автономного уравнения методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению вида .
Пример
Решить уравнение .
Решение
Полагая, что , решаем уравнение методом разделения переменных:
Þ Þ , где .
Заметим, что общее решение уравнения при дает частное решение , «потерянное» в процессе преобразований.
< Предыдущая | Следующая > |
---|