Глава 39. Понятие функции. Основные свойства функций

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.

Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная p.

Определение

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется Параметром.

Определение

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Определение

Если каждому элементу множества ( ) ставится в соответствие вполне определенный элемент множества ( ), то говорят, что на множестве задана Функция .

При этом называется Независимой переменной (или аргументом), –зависимой переменной, А буква обозначает закон соответствия.

Множество Называется Областью определения (или Существования) функции, а множество – Областью значений функции. Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т. е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал , так как ; если же переменная обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок .

Способы задания функций

Задать функцию – значит Указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение функции из области значений функций. Существует три основных способа задания функций: Табличный, аналитический и графический.

Табличный способ Состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента И соответствующие значения функции , например таблица логарифмов. Табличный способ имеет широкое применение в различных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п.

Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

Имеет два аналитических выражения, используемых при различных значениях аргумента.

Графический способ Состоит в том, что соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях и употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. д.).

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность.

Функция называется Четной, если для любых значений из области определения И Нечетной, Если . В противном случае функция называется функцией Общего вида.

Например, функция является четной, а функция – нечетной. Функция является функцией общего вида, так как и И .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность.

Функция называется Возрастающей (Убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке X, если и убывает, если .