Глава 39. Понятие функции. Основные свойства функций
Определение
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.
Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная p.
Определение
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется Параметром.
Определение
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.
Определение
Если каждому элементу множества
(
) ставится в соответствие вполне определенный элемент
множества
(
), то говорят, что на множестве
задана Функция
.
При этом называется Независимой переменной (или аргументом),
–зависимой переменной, А буква
обозначает закон соответствия.
Множество Называется Областью определения (или Существования) функции, а множество
– Областью значений функции. Если множество
специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной
, т. е. множество таких значений
, при которых функция
вообще имеет смысл.
Например, область определения функции есть полуинтервал
, так как
; если же переменная
обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии
областью определения функции будет отрезок
.
Способы задания функций
Задать функцию – значит Указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение функции из области значений функций. Существует три основных способа задания функций: Табличный, аналитический и графический.
Табличный способ Состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента И соответствующие значения функции
, например таблица логарифмов. Табличный способ имеет широкое применение в различных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п.
Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция
, рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция
Имеет два аналитических выражения, используемых при различных значениях аргумента.
Графический способ Состоит в том, что соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях и употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. д.).
Основные свойства функции
1. Четность и нечетность.
Функция называется Четной, если для любых значений
из области определения
И Нечетной, Если
. В противном случае функция
называется функцией Общего вида.
Например, функция является четной, а функция
– нечетной. Функция
является функцией общего вида, так как
и
И
.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2. Монотонность.
Функция называется Возрастающей (Убывающей) на промежутке
, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть и
. Тогда функция возрастает на промежутке X, если
и убывает, если
.
Функции возрастающие и убывающие называются Монотонными функциями.
Так, например, функция при
убывает и при
– возрастает.
3. Ограниченность.
Функция называется Ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что
Для любого
.
Например, функция ограничена на всей числовой оси, так как
для любого
.
4. Периодичность.
Функция Называется Периодической с периодом
, если для любых X из области определения функции
.
Например, функция имеет период
, так как для любых
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|