5.5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение вида .

Общее решение уравнения вида

(13)

Получается путем - кратного интегрирования правой части исходного уравнения:

Уравнение вида .

Данное уравнение не содержит явно искомую функцию и её производные до -го порядка включительно. С помощью замены , где - новая неизвестная функция, порядок уравнения может быть понижен на единиц. Действительно, в силу замены: . Следовательно, после подстановки значений производных в исходное уравнение получим уравнение -го порядка:

Предположим, что полученное уравнение мы можем решить, и его общее решение имеет вид:

Тогда искомую функцию находим из уравнения

Которое является уравнением вида (13).

Уравнение вида .

Данное уравнение не содержит явно независимую переменную . С помощью замены , где - новая неизвестная функция, порядок уравнения может быть понижен на единицу. Действительно, в силу замены: , и т. д. Следовательно, после подстановки значений производных в исходное уравнение -го порядка

Предположим, что полученное уравнение мы можем решить, и его общее решение имеет вид:

Тогда искомую функцию находим из уравнения

Которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Задание 1. Найти решение уравнения:.

Решение. Общее решение данного уравнения может быть получено в результате 2- кратного интегрирования правой части уравнения. Имеем:

И далее

Задание 2. Найти решение уравнения:.

Решение. Данное уравнение не содержит явно искомой функции . Следовательно, сделаем замену , где - новая неизвестная функция. Тогда . Подставим полученные значения и в исходное уравнение:

(14)

Уравнение (14) является однородным. Для нахождения его общего решения сделаем замену:

Или , где - новая неизвестная функция. Тогда: . Подставим значения и в уравнение (14):

Или

. (15)

Уравнение (15) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные в предположении, что , из (15) имеем:

Интегрируя

Получаем, что .

После преобразования последнего соотношения и обратной замены имеем:

. (16)

Если теперь предположим, что в (15) , то . Следовательно,

Или

. (17)

Равенство (17) получается из (16) при .

Таким образом, мы получили общее решение уравнения (14):

Следовательно, чтобы найти искомую функцию нам надо проинтегрировать функцию :

Задание 3. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение не содержит явно независимой переменной . Следовательно, замена Позволяет понизить порядок исходного уравнения. Действительно, из замены получаем: . Подставляя значения и в данное уравнение, имеем: