4.4. Объём тела

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси , является непрерывной функцией на отрезке , то объём тела вычисляется по формуле:

. (25)

Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми , () и прямыми , вычисляется по формуле:

. (26)

Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Сделать чертеж.

Решение. Найдем точки пересечения кривых:

,

Откуда . Тогда по формуле вычисления площади плоской фигуры (16) имеем:

Сделаем чертеж.

Задание 2. Вычислить длину дуги окружности .

Решение. Кривая задана в параметрическом виде, следовательно, вычислим длину дуги по формуле (20). Имеем: и тогда . Следовательно, .

Задание 3. Вычислить площадь поверхности сферы, образованной вращением окружности вокруг оси .

Решение. Разрешим уравнение окружности относительно . Пусть для определенности . Имеем:

; ; .

Тогда .

Задание 4. Вычислить объем шара, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной окружностью .

Решение. Из уравнения окружности имеем: . Воспользуемся теперь формулой (26), положив , . Тогда получим:

< Предыдущая		Следующая >