2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
Любой вектор в декартовой системе координат может быть представлен в виде
Где координаты вектора
Орты координатных осей.
Вектор с началом в точке
и концом в точке
Имеет вид:
,
то есть .
Длина отрезка называется Длиной (модулем) вектора, обозначается
=
и вычисляется по формуле
.
Сумма векторов и
определяется формулой
Произведение вектора На число
определяется формулой
.
Скалярным произведением векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
.
Скалярное произведение векторов и
вычисляется по формуле:
.
Векторным произведением векторов и
называется вектор, обозначаемый
и удовлетворяющий следующим условиям:
1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т. е.
;
2) вектор перпендикулярен векторам
и
;
3) векторы образуют правую тройку, то есть они ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты
.
Модуль векторного произведения векторов и
численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
Векторное произведение векторов и
вычисляется по формуле:
.
Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора
на вектор
, то есть
.
Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
Пусть Тогда
.
Уравнение любой плоскости может быть записано в виде:
где
.
Вектор , перпендикулярный плоскости, называется Нормальным Вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
, имеет вид
Угол между плоскостями и
определяется следующим образом:
.
Расстояние от точки До плоскости, определяемой уравнением
, находится по формуле
.
Прямая В пространстве может быть задана уравнениями двух плоскостей
,
Пересекающихся по этой прямой, или Каноническими уравнениями прямой
,
Которые определяют прямую, проходящую через точку и параллельную вектору
. Вектор
называется Направляющим вектором прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки и
, имеют вид:
.
Угол между Двумя прямыми и
определяется следующим образом:
.
Угол между прямой и плоскостью
определяется следующим образом:
.
Если Точка Делит отрезок АВ, где
,
, в Отношении
, то координаты точки М определяются по формулам:
.
Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды :
,
. Найти: 1) длину ребра
; 2) угол между ребрами
и
; 3) угол между ребром
и гранью
; 4) площадь грани
; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой
; 7) уравнение плоскости
; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
. Сделать чертеж.
Решение. 1) Для определения длины ребра найдем координаты вектора
:
. Тогда длина ребра
будет равна длине вектора
:
.
2) Найдем угол между ребрами и
. Для этого, как и раньше, найдем координаты вектора
, определяющего ребро
. Получим
и
.
Тогда угол между ребрами и
можно найти из определения скалярного произведения двух векторов:
.
Следовательно, .
3) Чтобы найти угол между ребром и гранью
, определим нормальный вектор
Плоскости
. Из определения векторного произведения двух векторов имеем:
,
Т. е. и
. Тогда
,
.
Так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости
, то угол между ребром
и гранью
определяется как
.
4) Площадь грани можем найти по формуле
. Следовательно,
Кв. ед.
5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения объема параллелепипеда воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. В результате имеем:
Таким образом,
куб. ед.
6) Составим уравнения прямой . Для этого воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки
И
:
.
Получаем:
.
7) Уравнение плоскости можно найти по формуле:
, где
,
. Следовательно, уравнение плоскости
имеет вид:
или после упрощения
.
8) Чтобы составить уравнение высоты , опущенной из вершины
на грань
, воспользуемся формулой:
,
Где ,
- направляющий вектор высоты
Пирамиды
. Так как вектор
Перпендикулярен грани
, то в качестве
Можно взять вектор
- нормальный вектор плоскости
.
Следовательно, имеем: или
.
9) Сделаем теперь чертеж:
< Предыдущая | Следующая > |
---|