51. Диаграммы отношений порядка. Структура "сравнимости-несравнимости&quot

При сравнении двух реальных объектов с помощью бинарных отношений можно выделить две ситуации: объекты несравнимы и объекты сравнимы. На множестве пар несравнимых объектов можно ввести отношение несравнимости g, а на множестве пар сравнимых объектов – отношение сравнимости d. Очевидно, что ни одна пара объектов не может принадлежать одновременно двум отношениям, поэтому g Ç d = Æ. Поскольку несравнимость объектов не зависит от порядка элементов в паре, то отношение несравнимости – симметрично. Кроме того, оно и антирефлексивно, поскольку любой объект можно сравнить с собой. В отношении сравнимости можно выделить две группы упорядоченных пар: к первой группе относятся пары объектов, в которых один из них доминирует или превосходит другой, ко второй – относятся пары равнозначных (безразличных или сходных) объектов. Первая группа пар образует отношение доминирования dд, а вторая – отношение безразличия dб. Эти отношения обладают следующими свойствами:

1. dд È dб = d, то есть отношение сравнимости состоит только из пар элементов отношений доминирования и безразличия.

2. dд Ç dб = Æ. Это означает, что ни одна пара элементов не может принадлежать одновременно отношению доминирования и отношению безразличия.

3. . Отношение безразличия симметрично, поскольку если объекты одинаковы, равнозначны, то в каком порядке их сравнивать не имеет значения. Поскольку объект одинаков (равнозначен, безразличен) сам с собой, то отношение безразличия является также рефлексивным.

4. . Действительно, в отношении доминирования dд для любой пары (A, B) произвольных объектов A, B справедливо только одно – либо объект A доминирует объект B, либо, наоборот, объект B доминирует объект A. Таким образом, ни одно из отношений dд или не может содержать две пары элементов (A, B) и (B, A), следовательно, пересечение отношений dд и пусто.

При решении прикладных задач часто бывает важным свойство линейности отношения, то есть сравнимости любого объекта с любым. При наличии этого свойства говорят о линейности отношения сравнимости или пары отношений доминирования – безразличия.

Говорят, что пара отношений сравнимости и несравнимости (d, g), введенных на некотором множестве B, задают на этом множестве структуру "сравнимости – несравнимости". Аналогично, тройка отношений доминирование, безразличие и несравнимость (dд, dб, g) задает структуру "доминирование – безразличие – несравнимость", а пара отношений (dд, dб) – структуру "доминирование – безразличие".

Введение на любом множестве B структуры "доминирование – безразличие – несравнимость" приводит к тому, что любая пара элементов C, D Î B удовлетворяет одному из четырех условий:

– элемент C доминирует элемент D;

– элемент D доминирует элемент C;

– элементы D и C сходны или безразличны;

– элементы D и C несравнимы.

Если в множестве B несравнимых элементов нет, то структура "доминирование – безразличие – несравнимость" превращается в структуру "доминирование – безразличие" и любая пара элементов множества B удовлетворяет одному из первых трех условий.

Любое отношение b на произвольном множестве B можно превратить в пару отношений "доминирование и безразличие". Для этого необходимо:

– если отношение b не является рефлексивным, то добавлением пар элементов вида (D, D), где D Î B превратить его в рефлексивное отношение;

– выделить симметричную часть bсим рефлексивного отношения b, которая на множестве B задает отношение безразличия;

– выделить асимметричную часть bасим отношения b, которая на множестве B задает отношение доминирования.

Для структур "доминирование – безразличие", если отношения доминирования и безразличия dд, dб транзитивны, то есть если из B Dд C и C Dд D следует B Dд D и если из G Dб F и F Dб H следует G Dб H, и замена в любой паре отношения доминирования одного из объектов ему равнозначным (безразличным) сохраняет доминирование, выполняется свойство транзитивности.

Поскольку отношение dд È dб рефлексивно и транзитивно, то оно является отношением квазипорядка. Если в отношении безразличия каждый объект безразличен только самому себе, т. е. отношение dд È dб – антисимметрично, то отношение доминирования – безразличия является отношением порядка. Таким образом, во многих случаях произвольные отношения могут быть преобразованы к отношениям порядка.

< Предыдущая		Следующая >