28. Сведение многокритериальной задачи к поиску экстремума единственной цели в условиях ограничений

Это весьма рациональный и распространенный метод решения задач с векторным критерием. Чаще всего он применяется следующим образом. Последовательно оптимизируют одну из целей, рассматривая другие цели в качестве ограничений. В результате такой последовательной оптимизации при M компонентах векторного критерия может быть получено множество из M решений, выбор лучшего из которых в общем случае не является тривиальной задачей. Кроме того, при решении каждой оптимизационной задачи ограничения в общем случае сужают область поиска оптимума в большей или меньшей степени произвольно. Это нередко приводит к ситуации, когда действительно оптимальное решение найти не удаётся.

Пример 2.4. Решим задачу из примера 2.3 рассмотренным методом. Поскольку в этой задаче используется векторный критерий с шестью компонентами, то применение метода, сводящего многокритериальную задачу к поиску экстремумов по отдельным критериям в условиях ограничений, приводит к последовательному решению шести оптимизационных задач. При решении первой из шести задач ищутся альтернативы, оптимальные по первой компоненте векторного критерия. По остальным пяти компонентам векторного критерия задаются ограничения. Пусть они будут следующими: по всем компонентам выбираемые альтернативы не должны принимать наименьших значений, т. е. должны выполняться условия

(2.27)

Если бы не было ограничений, то лучшей по первому критерию была бы альтернатива F, однако из-за нарушения ограничений (2.27) она выбрана быть не может. Сопоставление данных табл. 2.7 и ограничений (2.27) позволяет установить, что ограничениям удовлетворяют только альтернативы D, E и G. Поскольку = = 6 и = 2, то лучшими и равноценными по критерию являются альтернативы D и G.

При поиске оптимальных альтернатив по критерию будем полагать, что ограничения по критериям – остаются такими же, как и при решении первой задачи, а ограничение по первому критерию задаётся соотношением

> 4. (2.28)

Сопоставляя данные табл. 2.7 с ограничениями на значения других компонент векторного критерия, выделим альтернативы D и G, удовлетворяющие ограничениям (2.27) и (2.28). Поскольку = = 4, то обе альтернативы являются лучшими по критерию .

Используя ограничения (2.27), (2.28), нетрудно определить оптимальные альтернативы по компонентам векторного критерия – . В результате получим следующие множества оптимальных альтернатив для каждой из шести однокритериальных задач:

Задача 1 (оптимизация по компоненту ) {D, G};

Задача 2 (оптимизация по компоненту ) {D, G};

Задача 3 (оптимизация по компоненту ) {D};

Задача 4 (оптимизация по компоненту ) {D};

Задача 5 (оптимизация по компоненту ) {G};

Задача 6 (оптимизация по компоненту ) {G}.

Таким образом, в результате решения шести однокритериальных задач не удалось найти решения, оптимального ко всем компонентам векторного критерия. Однако число альтернатив, претендующих на оптимальное решение исходной задачи, уменьшилось до двух.

< Предыдущая		Следующая >