08. Критерий сэвиджа (или критерий минимаксных сожалений)

Критерий Сэвиджа определяется выражением

(1.6)

Для понимания этого критерия величины можно трактовать как дополнительные выигрыши (или как сожаления, что упущены выигрыши). Эти выигрыши были бы получены, если бы при состоянии внешней среды YJ Вместо альтернатив XI () была выбрана альтернатива XK (K ¹ I), для которой справедливо выражение Величины можно трактовать и как штрафы, на которые наказывается ЛПР, выбирающее неоптимальные решения. Фактически исходная матрица выигрышей соотношением преобразуется в матрицу возможных дополнительных выигрышей или матрицу сожалений, или матрицу штрафов за неправильные решения. При принятии решений в условиях неопределенности и предположении, что среда враждебна, каждая альтернатива с помощью соотношения характеризуется возможным максимальным штрафом или сожалением. Затем с помощью операции минимума выбирается альтернатива, минимизирующая негативные последствия при любых возможных состояниях внешней среды.

Пример 1.2. Пусть в процессе эксплуатации ЭВМ обнаружились сбои. Необходимо принять решение о дальнейшем функционировании ЭВМ. Возможны следующие варианты решений:

Х1 – полная проверка ЭВМ;

Х2 – минимальная проверка;

Х3 – отказ от проверки.

При этом ЭВМ может находиться в следующих состояниях:

У1 – неисправностей нет, сбои были случайны;

У2 – имеются незначительные неисправности, которые окажут несущественное влияние на дальнейшую эксплуатацию ЭВМ;

У3 – имеются серьезные неисправности, которые исказят результаты счета и приведут к выходу из строя других блоков.

Результаты потерь в относительных единицах от остановки ЭВМ приведены в табл. 1.3. Они включают затраты на проверку и устранение неисправностей, а также затраты, связанные с потерями машинного времени из-за остановки машины.

Таблица 1.3

	Y1	Y2	У3		КМм
X1	–20	–22	–40	–40	–40
X2	–12	–23	–43	–43
X3	0	–24	–55	–55

Используя соотношение , , где Aij – элементы исходной матрицы (табл. 1.3), нетрудно определить элементы матрицы Dij матрицы сожалений (табл. 1.4), а затем и значение критерия Сэвиджа, который выделяет вторую альтернативу в качестве лучшей.

Таблица 1.4

	Y1	Y2	У3		КS
X1	20	0	0	20
X2	12	1	3	12	12
X3	0	2	15	15

Выбор альтернативы X2 при отсутствии неисправностей ЭВМ (т. е. при состоянии среды Y1) приводит к потерям в 12 единиц по сравнению с альтернативой Х3. Если же дополнительные потери будут определяться при У2 или У3, то при выборе альтернативы X2 по сравнению с альтернативой X1 они будут составлять соответственно одну и три единицы, а общие потери при этом составят соответственно 23 и 43 единицы.

Таким образом, если максимальный элемент столбца матрицы не равен нулю, то критерий Сэвиджа минимизирует дополнительные потери, не учитывая общий уровень потерь. Если во всех столбцах исходной матрицы максимальные потери равны нулю, то выбор лучшей альтернативы с помощью критерия Сэвиджа более или менее объективен. Но если уровень общих потерь велик, как во втором и третьем столбцах матрицы , где во втором столбце базовый уровень потерь в 22 раза больше дополнительных потерь при выборе альтернативы X2, то применение критерия Сэвиджа может приводить к решениям, противоречащим "здравому смыслу". В рассматриваемом примере (см. табл. 1.3) при выборе альтернативы X2 максимальные потери могут составить 43 единицы, в то время как лучшая альтернатива X1 по максиминному критерию приводит к максимальным потерям только в 40 единиц.

Правило выбора лучшей альтернативы в соответствии с критерием Сэвиджа можно интерпретировать следующим образом. Строится новая матрица – матрица сожалений . Элементы матрицы сожалений получают как разности между максимальным элементом J-го столбца исходной матрицы и элементом . Матрица сожалений дополняется еще одним столбцом , каждый элемент которого является максимальным элементом соответствующей строки матрицы сожалений. Выбирается та альтернатива , которой соответствует минимальный элемент дополнительного столбца матрицы сожалений.

< Предыдущая		Следующая >