05. Факториал

Для любого натурального числа n произведение обозначается n! (читается «эн факториал»), т. е.

Считается, что 0!=1.

Пример 3.1. Вычислить

Решение. Так как и , то

Поскольку

и ,

То

Поэтому

Пример 3.2. Упростить выражение

(n³1).

Решение. Так как и , то

Пример 3.3. Решить уравнение

, где n³1.

Решение. Так как , то

Кроме того, . Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

Если n=1, то уравнение примет вид

Т. е. получается противоречие 0=1/6, следовательно, n=1 не является решением уравнения. Если n³2, то уравнение примет вид

Т. е. . Отсюда получаем n1=2 и n2=3.

Выражение n! означает, что перемножаются все натуральные числа подряд и наибольший из сомножителей равен n. Выражение n!! означает, что перемножаются натуральные числа через одно и наибольший сомножитель также равен n. Таким образом, если n чётное, то n!! есть произведение всех чётных чисел, не превышающих n (); если же n нечётное, то это произведение всех нечётных чисел, не превышающих n (). Аналогично, если после числа расположено три восклицательных знака, то перемножаются каждое третье число, а если четыре – каждое четвёртое. Например, .