10. Свойства сочетаний

Отметим некоторые свойства сочетаний:

1. (свойство симметрии).

Например,

2. (свойство Паскаля).

Данное равенство является рекуррентным соотношением для числа сочетаний. С помощью этого равенства можно составить таблицу для нахождения числа сочетаний. Расположим сочетания в виде треугольной таблицы

Полученную треугольную таблицу принято называть треугольником Паскаля.

3. .

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Поскольку , то получим квадратное уравнение

Учитывая, что , получаем решение

Пример 8.2. Решить неравенство

Решение. Из условия задачи следует, что n³2 и nÎ¥. Поскольку

, ,

То

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

Поскольку при n=10 получаем , а при n=9 получаем . Учитывая, что n³2 получаем

Пример 8.3. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Решение. Для звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, поэтому для k звуков имеем звукосочетаний. Таким образом, искомое количество есть