23. Операции над мультимножествами

Над мультимножествами определены следующие основные операции: объединение, пересечение, арифметическое сложение, арифметическое вычитание, дополнение, симметрическая разность, умножение на число, арифметическое умножение и возведение в арифметическую степень, прямое произведение и возведение в прямую степень.

Объединением мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые присутствуют хотя бы в одном из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна максимальной кратности соответствующих элементов в объединяемых мультимножествах:

CM= AMBM= {max(kixi, kjxj)}, kixiAM, kjxj BM.

Другими словами, производится попарное сравнивание каждого экземпляра мультимножеств и в каждой паре выбирается экземпляр с наибольшим значением функции кратности.

Пересечением мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые одновременно присутствуют в каждом из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна минимальной кратности соответствующих элементов в пересекаемых мультимножествах:

CM= AMBM= {min(kixi, kjxj)}, kixiAM, kjxj BM.

Другими словами, производится попарное сравнивание каждого экземпляра мультимножеств и в каждой паре выбирается экземпляр с наименьшим значением функции кратности.

Арифметической суммой мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые присутствуют хотя бы в одном из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна сумме кратностей соответствующих элементов в складываемых мультимножествах:

CM= AM+BM= {kx | kx = kixi + kjxj}, kixiAM, kjxj BM.

Операции объединение, пересечение и арифметическое сложение можно выполнять для произвольного числа мультимножеств.

Арифметической разностью мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из тех элементов мультимножества AM, кратность которых превышает кратность соответствующих элементов в мультимножестве BM. Кратность каждого элемента результирующего множества равна разности кратностей соответствующих элементов в вычитаемых мультимножествах:

CM= AM-BM= {kx | kx = kixi-kjxj, если ki>kj; 0, в противном случае}, kixiAM, kjxjBM.

AMBMAM - BM =

Симметрической разностью мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из тех элементов мультимножества AMи BM, кратности которых различны. Кратность каждого элемента результирующего множества равна модулю разности кратностей соответствующих элементов в вычитаемых мультимножествах:

CM= AM\BM= {kx | kx = |kixi-kjxj|}, kixiAM, kjxjBM.

Арифметическая и симметрическая разности мультимножеств применима только к двум мультимножествам.

Дополнением Мультимножества AM до универсума U называется мультимножество, состоящее из тех элементов, кратность которых равна разности кратностей соответствующих элементов в универсуме U и дополняемом мультимножестве AM. Под Универсумом в данном случае понимается некоторое мультимножество U, такое, что все остальные мультимножества являются подмультимножествами данного множества U.

AM’=U-AM={kA’x | kUx-kAx, xU}

Из определений пустого мультимножества и дополнения мультимножества следует, что пустое мультимножество и универсум U взаимно дополняют друг друга: ’ = U, U’=.

Арифметической произведением мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из элементов, которые одновременно присутствуют в каждом из мультимножеств, и их кратность равна произведению кратностей соответствующих элементов в перемножаемых мультимножествах:

CM= AMBM= {kx | kx = |kixiKjxj|}, kixiAM, kjxjBM.

Прямым произведением мультимножеств AM и BM называется мультимножество, состоящее из всех упорядоченных пар элементов <xi, xj>,

Таких, что первый элемент каждой пары является элементом первого сомножителя xiAM, второй элемент пары - элементом второго сомножителя xjBMи кратность каждой пары <xi, xj> равна произведению кратностей элементов xi и xjв перемножаемых мультимножествах:

CM= AMBM= {kA×B<xi, xj> | kA×B = kixiKjxj}, xiAM, xjBM.

По аналогии с множествами, для мультимножеств также можно сформулировать некоторые правила выполнения операций:

(AB)’ = A’B’;

(AB)’ = A’B’;

(A+B)’ = A’ – B = B’ – A;

(A – B)’ = A’ + B;

A’ – B’ = B – A;

A + B = (A B) + (A B);

A\B = (A B) – (A B) = A’\B’;

(A – B) (B – A) = ;

AB = (A + B) – (A B) = (A B) + A\B = A + (B – A) = B + (A – B);

AB = (A + B) – (A B) = (A B) – A\B = A – (A – B) = B – (B – A);

A – B = (AB) – B = A – (AB) = (AB)\B = A\(AB);

A\B = (AB) – (AB) = (A – B) + (B – A) = (A – B) (B – A) = (A + B) – 2·(AB);

A + B = (AB) + (AB) = A\B + 2·(AB).

< Предыдущая		Следующая >