18. Операции над соответствиями

Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т. д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из А в В, мы имеем в виду дополнение до Универсального соответствия из А в В, т. е. до Декартова произведения А×В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равенство множеств.

Объединением Соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1Γ2 = <XW, YZ, FP>.

Пересечением Соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1Γ2 = <XW, YZ, FP>.

Разностью Соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1\Γ2 = <X\W, Y\Z, F\P>

Инверсией Соответствия Γ= <X, Y, F> является соответствие Г-1, такое, что множество Y является областью отправления соответствия Г-1; множество X является областью прибытия соответствия Г-1, а график соответствия F-1 является инверсией графика F соответствия Г.

Композицией (произведением) соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P>называют соответствие Γ1·Γ2 = <X, Z, F·P>. Поясним построение композиции двух соответствий. Областью отправления является область отправления Γ1, областью прибытия – область прибытияΓ2, а графиком – композиция графиков F и P.

В случае, если YW = Ø, то результатом композиции соответствий будет соответствие с Пустым графиком.

Соответствие Ω называется инверсией соответствия Г, если область отправления Г равна области прибытия Ω и график Г является инверсией графика Ω.

Четная инверсия оставляет соответствие самим собой, а нечетная – инвертирует. То есть (Г-1)-1= Г, а ((Г-1)-1)-1 = Г-1. Соответствие Г-1= Г тогда и только тогда, когда график соответствия симметричен G=G-1, а область отправления соответствия совпадает с областью прибытия.

Пример. Г =<G, X, Х>, X = {1,2, 3}, G = {< 1,1>< 2, 2 >}. Графическое представление этого соответствия:

Для соответствия так же, как для отношений и множеств справедлива операция композиции. Композиция соответствий определяется через композицию их графиков. Композиция соответствий не является пустой, если существует хотя бы один элемент уY& уZ. Пусть заданы соответствия Γ1 = <G, X, Y>и Γ2 = <H, Z, U>. Тогда Γ1·Γ2= <G·H. X, U>- определяет композицию двух соответствий.

Например, пусть заданы множества X = {a, b}, Y = {с, d} Z = {d, е} U = <k, l>. Для получения непустого результата композиции соответствий множество Z должно частично или полностью совпадать с множеством Y

Для любых трех соответствий существует следующее правило композиции:

(Γ1·Γ2)·Γ3=Γ1· (Γ2·Γ3)

Докажем это тождество.

1. Необходимость: <a, b>(Γ1·Γ2)·Γ3 → <a, x>Γ1·Γ2 &<x, b>Γ3<a, x1>Γ1 &<x1, x>Γ2 &<x, b>Γ3 →<a, x1>Γ1 &<x1, b>Γ2·Γ3→<a, b>Γ1· (Γ2·Γ3).

2. Достаточность: <a, b>Γ1· (Γ2·Γ3)→<a, x>Γ1 &<x, b>Γ2·Γ3→<a, x>Γ1 &<x, z>Γ2 &<z, b>Γ3 → <a, z>Γ1·Γ2 &<z, b>Γ3→<a, b>(Γ1·Γ2)·Γ3.

3. Следовательно, тождество справедливо.

< Предыдущая		Следующая >