09. Операция проекции

Операция проектирования унарна. Она применима не к двум множествам, а к одному. Кроме этого, операция проектирования применима только к множеству кортежей одинаковой длины. Проекция множеств определяется через проекцию кортежей.

Определим понятие Проекции кортежей.

Пусть задан кортеж α = <а1, а2, …, аs>Длины s.

1) Пусть 1 ≤I≤S. Тогда проекцией кортежа αНа I-тую ось называется I-тая компонента кортежа α.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤Q≤s. И пусть задано число осей 1≤I1≤I2≤...≤Iq≤s. Тогда проекцией кортежа αНа оси с номерами I1,I2,...,Iq называется кортеж <аI1, аI2, …, аIq>, который обозначается следующим образом: ПрI1, I2,…,iqα = < аI1, аI2, …, аIq>.

3) Проекцией кортежа А На пустое множество осей называется пустой кортеж. Аналогично проекцией пустого кортежа на пустое множество осей называется пустой кортеж.

Пример. Пусть задан кортеж α= < 12, 15, 6, 8 >, ПрI1 α= <12>, ПрI2 α= <15>, ПрI3 α= <6>, ПрI4 α= <8>, ПрI1,I2 α= <12,15>, ПрI1,I4 α= <12,8>, ПрI5,I8 α= <>.

Определим понятие Проекции множества. Как отмечено это понятие будет определено только для случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей, причем все кортежи имеют одинаковую длину.

Проекция множества М — это множество проекций кортежей из М.

Пусть задано множество кортежей М длины s, s> 0.

1) Пусть 1 ≤i≤s, тогда проекцией множества М на I-тую ось называется множество проекций кортежей из М на I-тую ось и обозначается: прiM.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤Q≤s, и задано число осей 1≤I1≤I2≤...≤Iq≤s. Тогда проекцией множества М на оси с номерами I1,I2,...,Iq называется множество проекций кортежей из М на оси с номерами I1,I2,...,Iq.

3) Проекцией множества М на пустое множество осей называется множество проекций кортежей из М на пустое множество: прØМ.

Пример. Пусть М = { < 1, 2, 3, 4, 5 >, < 2, 1, 3, 5, 5 >, < 3, 3, 3, 3, 3><3, 2, 3, 4, 3><а, B, а, 1,а>}.Тогда пр2М = { 2, 1,3, 2, b }, пр2,4М = { <2,4>, <1, 5>, <3, 3>, <2, 4>, <B, 1> }, пр67М = Ø.

Пусть М — произвольное множество, длина которого s, s≥2. Тогда множество Ms состоит из кортежей длины s и значит, его можно проектировать. Операция проектирования множества основана на описанных правилах построения проекций кортежей и множеств. Для любого натурального числа 1 ≤I≤sпроекция ПpIMs= М.

Согласно определению операции проектирования, можно сказать, что для произвольного кортежа <х, у> истинны следующие высказывания:

<х, у>А XПр1A & YПр2A,

ХПр1A YПр2A <х, у>А.

Приведем основные свойства операции проектирования:

Пусть AX×Y, BX×Y, тогда для любых xX и уY (XX &yY)

·

·

·

·

·

·

·

В то же время в общем случае ложными являются следующие высказывания:

·

·

·

·

Некоторые из перечисленных высказываний следуют из определения прямого произведения. Для доказательства других свойств необходимо использовать методы доказательств тождеств с множествами.

Рассмотрим операции над кортежами: инверсия и композиция.

1) Инверсия.

Инверсия кортежа определяется следующим образом. Пара <C, D> называется Инверсией пары <A,B>,если C=B&D=A. Инверсия пары α обозначается α-1

Пример.α = <а, B>,Тогда α -1= <B, а>. (α -1)-1= α, ((α -1)-1)-1= α-1. Тогда α-N= α И α-(n-1)=α-1, при четном N.

2) Композиция.

Кортеж α= <х, у>Называется композицией двух кортежей β = <х, Z>И γ = <Z, у>И записывается α = β·γ. Операция композиции справедлива, когда вторая компонента кортежа βСовпадает с первой компонентой кортежа γ. Здесь как бы происходит "склеивание" двух кортежей по компоненте Z.

< Предыдущая		Следующая >