01. Теоретико-множественное введение

Это - не столько введение, сколько напоминание некоторых терминов. Все они были в курсе по математической логике, но нам они потребуются в несколько иных сочетаниях.

Итак, исходные неопределяемые понятия: Множество и элемент. Их надо воспринимать интуитивно, на уровне жизненного опыта. Множество - это синоним слова совокупность. Мно-жество состоит из элементов. Если A - Элемент множества A, то пишут , а если A не явля-ется элементом множества A, то пишут . Символ означает, что множе-ство A состоит из элементов . Если нужно символически записать фразу «Множество A состоит из элементов A, обладающих свойством F», То принято писать:.

Символ |A| обозначает количество элементов во множестве A. Если специально не оговорено иное, то все множества в наших рассмотрениях будут конечными, т. е. такими, что .

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что A - Подмножество B и пишут . Принято специальным термином и специальным символом выделять множество, не содержащее ни одного элемента: его называют Пустым Множеством и обозначают символом . Если одновременно и , то множества A и B называют-ся Равными и пишут . Над множествами можно проводить ряд традиционных действий. А именно:

1.Объединение. Так называется множество C, которое строится по заданным множе-

Ствам A и B следующим образом: в него включаются все элементы из A и все элементы из B. Обозначение:

2. Пересечение. Так называется множество C, которое строится по заданным множест -

Вам A и B следующим образом: в него включаются все элементы, принадлежащие одновремен-но множеству A и множеству B. Обозначение:

3.Вычитание. Так называется множество C, которое строится по заданным множест -

Вам A и B следующим образом: в него включаются все элементы из A, не принадлежащие мно-жеству B. Обозначение: Часто при включении вместо пишут и говорят о Дополнении подмножества B.

4. Произведение. Так называется множество C, которое строится по заданным множе-ствам A и B следующим образом: в него включаются все упорядоченные пары , где . Обозначение: Если , то называется Декартовым квадратом Множества A; подмножество всевозможных элементов во множестве называется Диагональю множества A и обозначается .

Напомним еще несколько определений.

Отношение на множестве. Если в декартовом квадрате некоторого множества A

Выделено какое-либо подмножество , то говорят, что на A Задано отношение (или Бинарное отношение). Если для некоторых элементов имеет место включение , то говорят, что Находятся в отношении .

Если , то отношение называется Рефлексивным.

Если отношение таково, что из включения обязательно следу-ет, что , то отношение называется Симметричным.

Если отношение таково, что из включений и следует, что , то отношение называется Транзитивным.

Если отношение таково, что из одновременных включений и следует, что , то отношение называется Антисимметричным.

Полагают по определению, что пустое множество является отношением одновременно рефлексивным, симметричным, антисимметричным и транзитивным.

Если отношение рефлексивно, транзитивно и симметрично, то оно называ-ется Эквивалентностью. Если же отношение одновременно рефлексивно, транзитивно и антисим-метрично, то оно называется Частичным порядком.

Если - частичный порядок на множестве A и , то говорят, что элементы Сравнимы относительно или просто Сравнимы; иногда пишут в этом случае или просто .

Следующая >