06. Множества

Задачи и размышления

1. Студенческая группа сформирована из выпускников лицеев (множествоA), специализированных классов (множество B) и общеобразовательных школ (множество С). Что означают множества и ? Верно ли соотношение

= ?

2. Среди всевозможных треугольников выделите три множества и треугольников, для которых были бы справедливы утверждения:

А)

Б)

В)

Г) ;

Д)

3. Дано множество

Какие множества можно образовать из его элементов?

4. Сколько может быть подмножеств множества, содержащего n элементов?

5. Даны множества (рис.7.10). Как будут выражаться через них одинаково заштрихованные множества? Если - высказывания, то каким высказываниям будут соответствовать эти заштрихованные части?

Рис. 7.10 . Исходные множества и связь между ними.

 

6. В Мировом океане известно 19 глубоководных впадин, глубина которых превышает 7 километров, из них 16 находятся в Тихом и Индийском океанах, а 4 - в Индийском и Атлантическом. Сколько в каждом океане глубоководных впадин?

Решение. Пусть А - множество глубоководных впадин в Тихом и Индийском океанах, B - множество глубоководных впадин в Индийском и Атлантическом океанах. По условию число элементов в этих множествах . Известно также, что . Глубоководные впадины Индийского океана образуют множество . Для отыскания числа элементов этого множества используем формулу

Согласно которой

Таким образом, в Индийском океане одна глубоководная впадина, а потому в Тихом океане их 15, а в Атлантическом - 3.

Отметим, что данную задачу можно было бы решить и традиционным алгебраическим методом. Если x, y и - число глубоководных впадин соответственно в Тихом, Индийском и Атлантическом океанах, то

Решая эту систему, получим , что и является ответом задачи.

7. Можно ли обобщить формулу для нахождения числа элементов пересекающихся множеств на случай, когда этих множеств 3, 4,..., n?

8. Среди восьмидесяти участников математической олимпиады 60 человек любят шахматы, 50 - шашки, а 40 человек любят обе игры. Сколько участников олимпиады равнодушны к этим играм?

9. В город Пермь прибыло 110 туристов. 80 из них решили посетить художественную галерею, 70 человек направились в Кунгурскую ледяную пещеру, 8 человек решили ограничиться только хождением по магазинам. Сколько человек посетили и художественную галерею, и Кунгурскую ледяную пещеру?

Решение. Пусть А - множество туристов, посетивших художественную галерею, B - множество туристов, побывавших в Кунгурской ледяной пещере; множество E всех туристов можно считать основным. Туристы, ходившие только по магазинам, образуют множество . Известно, что . Воспользуемся формулой

Тогда

Но

Применяя известную формулу, получим:

10. В условиях предыдущей задачи укажите, что представляет собой множество , и найдите число его членов.

11. 80% учащихся лицея ценят классическую музыку, 75% - стремятся ее понять, 55% - посещают симфонические концерты. Каким может быть наименьшее количество лицеистов, которые и ценят классическую музыку, и стремятся ее понять, и посещают симфонические концерты? Каков может быть наибольший процент лицеистов, никак не соприкасающихся с этим духовным богатством?

12. Как связаны между собой множество треугольников, у которых две биссектрисы равны между собой, с множеством треугольников, у которых две медианы равны между собой, и множеством равносторонних треугольников?

13. Можно ли разменять 200 долларов купюрами по 5, 10 и 20 долларов так, чтобы всего было 20 купюр?

Решение. Предположим, что такой размен возможен. Для этого потребуется x купюр по 5 долларов, y - по 10 долларов и - По 20 долларов. Тогда

Мы получили систему двух линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. На множестве действительных чисел она может иметь либо бесчисленное множество решений, либо не иметь решений. Нас интересуют решения на множестве натуральных чисел. Ситуация поэтому может быть иной.

Решим систему

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Методом подбора находим семь возможных для данной задачи значений от 0 до 6, которые позволяют получить семь наборов решений:

Таким образом, 200 долларов можно разменять семью способами купюрами по 5, 10 и 20 долларов с общим числом купюр 20.

Изменим условие задачи незначительно: возможно ли разменять 200 долларов 20 купюрами номиналом 5, 20 и 50 долларов?

Аналогично предыдущему, для решения задачи получаем систему

Где x - Число купюр номиналом 5 долларов, y - 20 долларов и - 50 долларов. Преобразуя ее, получим:

Попытки подобрать значения y и , удовлетворяющие этому уравнению, результата не дают. Его простейший анализ показывает, что при любых отличных одновременно от нуля y и левая часть уравнения должна делиться на 3, но правая часть не делится на 3 нацело. Стоит, однако, уменьшить общее число купюр, предназначенных для размена, с 20 до 19 штук, задача вновь окажется решаемой. Она сведется к системе

Которая преобразуется в уравнение

Или

,

Откуда находим три набора решений:

Уравнение

Рассматриваемое на множестве целых чисел, на протяжении многих столетий привлекало внимание ученых как с точки зрения практических приложений, так и с позиций анализа интересных математических идей, которые легли в основу важного научного направления – диофантова анализа. Именно Диофант – греческий математик из Александрии, живший в III веке до нашей эры, оставил потомкам свой труд, ставший основой теории чисел. И хотя методы решения данного уравнения были уже известны в XII в. до н. э. индийскому математику Бхаскару, строгой научной теории для исследования подобных уравнений (не обязательно первого порядка) не существовало.

Имеет место важная теорема, определяющая необходимое и достаточное условие существования решения диофантовых уравнений первого порядка, называемых еще неопределенными.

ТЕОРЕМА. Уравнение где a, b И c – целые числа, имеет целые решения для неизвестных x и y тогда и только тогда, когда правая часть делится на число d – наибольший общий делитель коэффициентов A И b. Все возможные решения этого уравнения задаются формулами:

Где X0, Y0 – какое-то одно целое решение данного уравнения, а параметр T – целое число.

При любом целом t мы будем получать некоторое решение данного уравнения (в этом легко убедиться непосредственной проверкой).

Теперь становятся понятными ситуации с возможностью размена некоторой суммы денег купюрами определенного номинала, общее число которых задано.

14. Если числа a и b Взаимно простые, то диофантово уравнение

Всегда имеет целое решение. Докажите этот факт.

15. Имеет ли диофантово уравнение

Всегда целые решения?

16. Отыскание какого-либо частного решения диофантова уравнения

Может вызвать определенные трудности, особенно когда коэффициенты a, b и c достаточно велики по абсолютной величине. Попробуйте предложить какой-либо способ их отыскания. В математике известны несколько таких способов.

17. Составьте какие-либо практические задачи, которые сводились бы к диофантову уравнению

.

18. Известны ли вам какие-либо проблемы, приводящие к диофантовым уравнениям порядка выше первого?

Изучение множества действительных чисел и его подмножеств увлекает крупных ученых и всех любителей математики возможностью достижения самых неожиданных результатов.

П. Ферма был уверен, что нашел формулу простого числа:

– и предложил ученому миру ее доказать. Но прошло немного времени – и Л. Эйлер вместо доказательства предложил ее опровержение.

Действительно,

Теория чисел буквально завораживала не только математиков, но и людей, не связанных с этой наукой, исключительной простотой постановки многих задач и невероятными трудностями их решения.

Так, задача нахождения натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих уравнению

при n > 2

(великая теорема Ферма), была решена лишь в 1995 году. Автора, ее решившую, ожидает премия около двух миллионов долларов.

19. Могут ли числа 8,9,10 быть членами одной и той же геометрической прогрессии?

20. Доказать, что сумма произведения четырех последовательных натуральных чисел и единицы есть точный квадрат.

Решение. Проводим очевидные преобразования:

.

21. Доказать, что если все стороны прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то одно из них или все три числа четные, а нечетных чисел может быть только два.

22. Доказать, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8.

23. Доказать, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

24. Доказать, что сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6.

Покажем, что между любыми двумя действительными числами A и B (A < B) найдутся рациональное число С и иррациональное число D такие, что

A < C < B и A < D < B.

Будем считать, для определенности, числа А и B положительными:

Если какое-нибудь из них рационально и выражается дробью с периодом 9, то представим его в виде дроби с периодом 0. Из неравенства A < B вытекает возможность найти такое неотрицательное число N, что AK= bK (k = 0,1,..., n–1) и AN < BN. Так как цифра 9 не является периодом числа А, то, начиная с натурального номера I > n, существует Ai ¹ 9.

“Сконструируем” искомое рациональное число С следующим образом. Примем:

Где

Такое число С окажется больше числа А, так как

Но меньше B, так как

Полученное таким образом рациональное число С удовлетворяет неравенству

A < C < B.

Иррациональное число D рассмотрим в виде:

Эта бесконечная десятичная дробь будет непериодической, причем, так как

То A < D. Кроме того,

Поэтому D < B.

Таким образом, искомое иррациональное число удовлетворяет неравенству

A < D < B.

Покажем теперь, что точная нижняя грань интервала (0; 1) равна 0:

.

Действительно, для всех справедливо

X > 0,

Следовательно, число 0 является нижней границей. Если только взять любое число , то, согласно предыдущему примеру, найдется такое рациональное , что , то есть не может быть нижней границей. Следовательно,

25. Имеют ли точную верхнюю и нижнюю грани:

А) множество площадей многоугольников, описанных около круга радиуса r?

Б) множество площадей многоугольников, вписанных в круг радиуса r?

В) множество значений температуры материальных объектов?

Г) множество значений скоростей в природе?

Интерпретируйте понятия точной верхней и нижней граней применительно к данным геометрическим и физическим образам.

Рациональные числа заполняют не всю числовую прямую. Стремление поставить в соответствие каждой точке прямой некоторое число привело к появлению новых чисел – иррациональных.

На рубеже XIX и XX веков Р. Дедекиндом была создана теория иррациональных чисел, согласно которой с помощью метода сечений в области рациональных чисел каждое иррациональное число может быть с любой степенью точности выражено через рациональные числа. То есть всякое иррациональное число может быть заключено в сколь угодно малый интервал, границы которого – рациональные числа.

Рассмотрим число . Покажем, что не существует рационального числа – Ни целого, ни дробного, квадрат которого равен 2.

Предположим противное: найдется такое рациональное число X, что . Очевидно, среди целых чисел нет числа, равного , так как . Кроме того, , так как . Каждое положительное рациональное число, не равное 0, можно представить в виде несократимой дроби. Примем

Где M и N – натуральные числа, не имеющие других общих делителей, кроме 1. Тогда

Или . Следовательно M2 – число четное, а значит M тоже четно (M не может быть нечетным, так как его квадрат был бы также нечетным). Если M = 2k, то или , то есть N – число четное. Мы видим, что у несократимой дроби и числитель, и знаменатель – Числа четные, что невозможно ввиду несократимости дроби , следовательно не есть рациональная дробь.

26. Покажите, что сумма рационального и иррационального числа не может быть рациональным числом, доказав предварительно, что сумма и разность двух рациональных чисел есть число рациональное.

27. Доказать, что если корень целой степени из целого положительного числа не есть целое число, то он не может быть и дробным.

28. Доказать, что если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень , то второй корень будет также иррациональным и сопряженным первому, то есть .

Решение. По условию задачи коэффициенты квадратного уравнения рациональны. Сумма и произведение его корней, выражающихся через эти коэффициенты, как следует из теоремы Виета, также должны быть рациональны. Сумма и произведение двух выражений, из которых одно иррационально, могут быть рациональными только в том случае, если второе выражение тоже иррационально и сопряжено первому, так как

– рациональное выражение и

– также рационально.

29. Доказать, что если в уравнении

Коэффициенты p и q рациональны и связаны соотношением:

Где – тоже рациональное число, то его корни всегда рациональны.

30. Доказать, что если квадратное уравнение

Где р и q – целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни могут быть только целыми числами.

31. Доказать, что при действительных положительных a и b

32. Доказать, что cумма квадратов двух нечeтных чисел не может быть квадратом целого числа.

33. Доказать:

34. Учитель Н. Нестеренко из Луганской области обнаружил, что существуют 2n-значные натуральные числа, равные сумме квадратов своих n-значных частей:

Найдите (можно и с помощью ЭВМ) натуральные числа, обладающие этими свойствами.

Н. Нестеренко утверждает, что таких чисел бесконечно много. Так ли это?

Множество действительных чисел несчетно. Так как множество действительных чисел мы связываем с числовой прямой, то для доказательства этого утверждения достаточно установить взаимно однозначное соответствие между точками интервала и числовой прямой, потому что несчетность множества, задаваемого интервалом , уже доказана.

Рассмотрим прямоугольник aABb (рис. 7.11). Выберем произвольно точку и точку . Проведем прямые AO1 и BO1. Пусть – произвольная точка интервала (a, b), лежащая правее O1. Для отыскания соответствующей ей точки W на прямой l строим и проводим прямую O2K, пересекающую l в точке W (если точка лежит левее O1, то построения аналогичны).

Рис. 7.11. Взаимно однозначное соответствие между точками интервала (A, b) и числовой Прямой l.

 

Интересно, что точка a – основание перпендикуляра к прямой l – окажется при таком соответствии неподвижной, то есть переходит сама в себя.

Есть мнение: “Беско-нечность - это место, где происходит то, чего не бывает”.

Легко убедиться, что это соответствие взаимно однозначно. Отсюда следует, что и прямая l, и интервал (A, b), как и отрезок [0;1], имеют мощность континуума. Удивительный факт: на всей прямой не больше точек, чем на отрезке [0;1]! Этот эффект порожден свойствами бесконечных множеств.

Рис. 7.12. Возможный способ установления взаимно однозначного соответствия между точками интервала (a, b) и числовой прямой.

 

Взаимно однозначное соответствие между точками интервала (a, b) и точками прямой можно установить и аналитически. Например, функция устанавливает такое соответствие. При этом интервал (a, b) лежит в области определения функции, а областью изменения функции является вся ось y (рис. 7.12).

Таким образом, мы доказали, что множество действительных чисел несчетно. Из несчетности множества действительных чисел следует важный факт: множество иррациональных чисел также несчетно.

Действительно, если предположить противное, т. е. что множество иррациональных чисел счетно, то в объединении со счетным множеством рациональных чисел получим множество действительных чисел и оно окажется счетным, что противоречит доказанному.

35. Найдите другие геометрические и аналитические способы доказательства эквивалентности точек прямой и интервала (a, b).

< Предыдущая		Следующая >