09. Задача линейного программирования при максимизации потока

Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть ХKM - объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно Рис. 8.8 K=0,1,2,3, М=1,2,3,4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных XKM, а именно, X01, X02, X03, X12, X13, X14, X23, X24, X34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:

F ð max, X01 + X02 + X03 = F(0)

-X01+X12+X13+X14=0(1)

-X02+X12+X23+X24=0(2)

-X03+X13+X23+X34=0(3)

-X14+X24+X34=-F(4)

X01≤2

X02≤3

X03≤1

X12≤4

X13≤1

X14≤3

X23≤1

X24≤2

X34≤2

ХKM≥0, K, M=0,1,2,3,4

F≥0

Здесь F - целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) - (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри системы и не "рождаются" в ней. Условие (4) - это условие "выхода" грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом ("вход" равен "выходу"). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных "веток" транспортной системы. Затем в системе ограничений задачи линейного программирования указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию - через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом "не знает").

< Предыдущая