03. Свойства интеграла Римана

1. .

2. .

3. Определенный интеграл обладает свойством линейности:

Если и интегрируемы на , то

А) функция - интегрируема на и

Б) - интегрируема на и .

4. Определённый интеграл обладает свойством адитивности:

Если интегрируема на и , то она интегрируема на и .

5. Если интегрируема на , то тоже интегрируема на и справедливо неравенство

.

6. Если и интегрируемы на и выполнено неравенство

, то .

7. Если , , то

.

8. Теорема (О среднем значении)

Пусть - непрерывна на , тогда .

Число называется средним значением функции на промежутке .

9. Если функция непрерывна на , то - дифференцируема и .

Следствие: любая непрерывная функция на имеет первообразную.

10. Формула Ньютона – Лейбница.

Если - какая-либо первообразная , то

.

Пример 1: Вычислить определённые интегралы

А) Б) В) .

Решение:

А) .

Б) .

В)

Пример 2. Вычислить пределы, используя понятия определенного интеграла

А)

Б)

Решение:

А) Выражение под знаком предела представляет собой интегральную сумму для функции на промежутке для разбиения, делящего отрезок на равных частей и выбора точек . Поскольку функция На промежутке непрерывна, а значит, интегрируема, то предел интегральной суммы не зависит от разбиения и выбора точек:

Б) В этом случае выражение под знаком предела представляет интегральную сумму для функции на промежутке , соответствующую разбиению отрезка на равные части, точки выбраны на левых концах промежутков: .

Поскольку интегрируема на

Пример 3. Вычислить среднее значение функции на промежутке .

Решение: по определению среднее значение на равно

.

< Предыдущая		Следующая >