01. Интеграл Римана. Основные определения
1. Разбиением Р отрезка называется конечная система точек
Отрезки
называются отрезками разбиения. Диаметром разбиения
называется максимум длин отрезков разбиения:
2. Если на каждом из отрезков , соответствующих разбиению Р выбрана точка
, то определено разбиение Р с выбором точек
.
3. Пусть на задана функция
, Р – разбиение
,
- выбор точек.
Сумма называется Интегральной Суммой для
на
, соответствующей данному разбиению Р и данному выбору точек
:
.
4. Если существует предел когда диаметр разбиения
и этот предел не зависит от разбиения Р и выбора точек
, то он называется Римана от функции
на промежутке
и обозначается
.
5. Функция , для которой
называется интегрируемой на
по Риману или просто интегрируемой,
и
называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования,
- переменной интегрирования.
6. Теорема (Необходимый признак интегрирования)
Если функция интегрируема на
, то она ограничена на этом промежутке.
Ограниченность не является достаточным признаком: существует ограниченные на функции не являющиеся интегрируемыми. Примером таких функций является функция Дирихле:
7. Нижней интегральной суммой Дарбу функции , соответствующей разбиению Р называется
8. Верхней интегральной суммой Дарбу, соответствующей разбиению Р, называется
Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
1) Интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек удовлетворяет неравенствам
.
2) При увеличении количества точек разбиения нижняя интегральная сумма разве что увеличивается, а верхняя – разве что уменьшается.
3) Каковы бы ни были разбиения
.
4) Множество всех нижних интегральных сумм ограничено сверху, множество всех верхних интегральных сумм
- снизу.
5) Infimum множества называется верхним интегралом и обозначается
.
6) Supremum множества - нижним интегралом и обозначается
.
Следующая > |
---|