13. Интегрирование иррациональных выражений

1°. Интегралы вида заменой переменной приводятся к интегралу от рациональной функции, а значит, интегрируются в элементарных функциях.

2°. Интегралы вида

Где – целые числа приводятся к интегралу от рациональной функции заменой , где – общий знаменатель дробей , и интегрируются в элементарных функциях.

3°. Интегралы вида

1) ,

2) ,

Приводятся к с помощью тригонометрической замены

1) ,

Где ;

2) ,

Где ;

3) ,

Где .

Интегралы всех перечисленных выше видов вычисляются в элементарных функциях.

4°. Дифференциальным биномом называют выражение вида , где – вещественные числа, – рациональные числа.

Теорема Чебышева утверждает, что дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях только в трех случаях:

1)		;
2)		;
3)		.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Решение

1)

	;
2)

	;
3)

4)



	.

Интегралы вида , где - многочлен степени, большей, чем 1, вычисляются по следующей формуле

(*)

Здесь - число, - многочлен, степени на единицу меньшей, чем . Все коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

Для этого следует продифференцировать равенство (*), преобразовать и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях . Покажем процедуру вычисления неопределенных коэффициентов на примере.