09. Рациональные функции. Разложение на простейшие дроби. Интегрирование рациональной функции

1°. Рациональной дробью называют отношение двух многочленов:

2°. Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если .

3°. Любая неправильная дробь может быть представлена суммой многочлена и правильной дроби.

4°. Любая правильная дробь может быть разложена в сумму элементарных дробей I, II, III и IV типов, то есть в сумму дробей вида:

5°. Каждая из элементарных дробей интегрируется в элементарных функциях. Следовательно, любая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Для того чтобы разложить рациональную дробь на простейшие нужно:

1) Если дробь неправильная выделить целую часть, представив ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2) Знаменатель разложить на простейшие множители, то есть представить в виде:

3) Записать разложение с неопределенными коэффициентами. Каждому множителю вида в разложении соответствует сумма дробей первого и второго типа

А каждому множителю вида в разложении соответствует сумма дробей третьего и четвертого типов

4) Для определения коэффициентов следует разложение привести к общему знаменателю. Полученная при этом дробь тождественно равна , и знаменатели у них совпадают. Значит, должны совпадать и числители.

Уравнения для определения коэффициентов можно получить либо приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, либо придавая переменной х последовательно значения вещественных корней знаменателя (если такие есть).

На практике для нахождения коэффициентов используют оба подхода одновременно.

Пример Вычислить интеграл

Решение Дробь под интегралом неправильная. Следует выделить целую часть

;

2) Знаменатель дроби уже разложен на простейшие множители;

3)	;
	.

4) Воспользуемся тем, что знаменатель имеет вещественный корень , подставим это значение в полученное равенство

5) Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях х, получим уравнения для определения остальных коэффициентов

Итак,


	.

В некоторых случаях интегрирование рациональных функций можно упростить. В частности, это касается вычисления интегралов вида:

А);

Б).

А) При вычислении интеграла стандартным методом неопределенных коэффициентов приходится вычислять коэффициентов и только 2 из них вычисляются легко, т. к корни знаменателя кратные. Сократить вычисления можно применив замену переменной:

Используя такую замену, легко вычислить, например:

Б. Интегралы типа , где - многочлен степени , а , легко вычисляются, если разложить по формуле Тейлора в т. .

Пример: Вычислить

Решение. Разложим по формуле Тейлора в т.

Для этого следует вычислить

Тогда, в соответствии с формулой Тейлора ,

Для интегралов вида метод неопределённых коэффициентов требует вычисления коэффициента и даже, если эти коэффициенты найдены, приводит к интегрированию выражений типа .

Этого можно избежать, если вычислять интеграл другим методом:

Если заметить, что

, а ,

То оба интеграла легко вычисляются,

Пример: Вычислить

Решение.

Менее очевидно, но очень удачные подстановки, годятся для вычисления,

, , , .

А) =.

Аналогично,

Интегралы и легко вычислить, если заметить, что , а .

Метод Остроградского интегрирования правильной рациональной дроби позволяет выделять рациональную часть интеграла без разложения знаменателя на произведение неприводимых множителей, и разложение рациональной дроби на простейшие. Формула Остроградского имеет вид:

Здесь - наибольший общий делитель многочленов и ; . Многочлены и многочлены, степени на единицу меньше, чем соответственно и . и записывают с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты можно вычислить, дифференцируя формулу Остроградского и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях.