15. Исчисление предикатов. Символизация обычного языка

Теория вывода, которую дает исчисление высказываний, недостаточна для математики, да и для обычных рассуждений. Например, из посылок:

«Всякое рациональное число есть действительное число»,

«3 есть рациональное число»,

Конечно, можно вывести заключение

«3 есть действительное число».

Однако логичность этого рассуждения нельзя установить в исчислении "высказываний. Объясняется это тем, что исчисление высказываний ограничивается структурой предложений в терминах предложений-компонентов, а приведенный выше вывод требует анализа структуры предложения в смысле связи субъекта и предиката, как это делается в грамматике. Иными словами, исчисление высказываний не разделяет предложение на достаточно «тонкие» составляющие для удовлетворения" большинства целей. С другой стороны, оказывается, что, добавив три дополнительных логических понятия, называемых термами, предикатами и кванторами, можно символизовать очень многое в обычном и математическом языке так, что становится возможным анализ рассуждения. Опишем эти три понятия.

В математике практикуется введение букв вроде Х или У, занимающих место названий отдельных предметов. Например, чтобы описать те действительные числа, квадраты которых минус сами числа равны 12, мы пишем равенство Х2 — X =12, рассматривая таким образом Х как заместитель названия любого такого числа (пока неизвестного). Или, при обычном употреблении Х, оно в равенстве

Sin2 X + cos2 Х = 1

Замещает название произвольного действительного или даже комплексного числа. При таком применении, как в равенстве Х2 — X =12, мы привыкли называть Х неизвестным, а в равенстве sin2 X + cos2 Х = 1 обычно Х называют переменной. Мы будем пользоваться буквами из второй половины алфавита при символизации обычного языка подобно тому, как это сделано выше, т. е. в качестве неизвестного или переменной. В логике принято употреблять слово «переменная» в обоих случаях, и вопрос, должно ли Х служить переменной в интуитивном понимании слова или неизвестным, решается в зависимости от формы выражения, в которое X входит. Поскольку в конце концов мы намерены освободить все символы от какого бы то ни было смыслового значения, проще всего сделать это с самого начала в отношении переменных. Мы достигаем этого, определяя предметную переменную как букву или букву с нижним или верхним индексом. Переменные образуют один из классов термов.

Мы будем также пользоваться буквами и символами в качестве названий конкретных, вполне определенных предметов, т. е. применять буквы и символы вместо собственных имен. Применяемые с этой целью буквы и символы называются предметными постоянными. Например, «3» есть предметная постоянная, так как это название числа 3. «Уинстон Черчилль» тоже предметная постоянная. Чтобы сделать обозначение кратким, мы будем пользоваться вместо собственного имени, если для него кет общепринятого символа, одной из первых букв алфавита. Например, можно положить, что

А = Уинстон Черчилль,

Если мы хотим перевести в символическую форму предложение

«Уинстон Черчилль был великим государственным деятелем».

Собственные имена часто даются в виде «описания», которое мы считаем названием предмета, по самой своей структуре недвусмысленно обозначающим этот предмет. Например,

Первый президент Соединенных Штатов

Такое действительное число Х, что для всех действительных чисел У

Xy = Y

Представляют собой описания. Если положить

B — Георг Вашингтон,

То мы можем написать

B = первый президент Соединенных Штатов.

Далее, мы имеем

1= такое действительное число Х, что для всякого У ху = у.

Предметные переменные и предметные постоянные (в виде собственных имен или описаний), вместе взятые, называются термами. Грамматическая функция переменных подобна функции местоимений и нарицательных имен в обычном языке, а функция предметных постоянных подобна роли имен собственных.

Перейдем теперь к понятию предиката. В грамматике предикат (сказуемое) есть то слово (или несколько слов) в предложении, которое выражает, что говорится о субъекте (подлежащем): например, «есть действительное число», «имеет черный цвет», «завидует». В логике слово «предикат» употребляется в более общем смысле, чем в грамматике. Дело в том, что, вводя в предикате переменную, замещающую нужный предмет (например, «Х есть действительное число»), мы получаем «высказывательную функцию» в том смысле, что для каждого значения переменной Х (из соответствующей области определения) результат есть высказывание. Хотя в грамматике «Джон любит» не будет предикатом, но если ввести букву X, заменяющую объект (любви Джона), т. е. написать

Джон любит Х,

То полученный результат становится высказывательной функцией в описанном здесь смысле. Сразу же напрашивается обобщение, а именно распространение сказанного на высказывательные функции со многими переменными. Вот несколько примеров:

Х меньше У, У делится на х, Z есть сумма Х и У.

Результатом является понятие об П - местном предикате как о выражении, обладающем тем свойством, что, приписав значения переменным из соответствующих областей определения, мы получаем высказывание. Для удобства в число значений П включаем и 0, понимая под 0-местным предикатом высказывание.

Рассмотрим теперь примеры перевода в символическую форму.

Примеры А

1. Предложение

Каждое рациональное число есть действительное число (1)

Можно перевести в следующее:

Для любого Х, если Х есть рациональное число, то Х есть действительное число. (2)

В обычной грамматике «есть действительное число» — предикат в предложении (1). В переводе (2) дополнительный предикат «Х есть рациональное число» заменяет имя нарицательное «рациональное число». Обозначая через Q(Х) «Х есть рациональное число», а через R(Х) «Х есть действительное число», мы можем выразить (2) в символической форме в виде

Для любого х, Q(х) → R (х). (3)

Далее, высказывание «3 — рациональное число» можно записать символически так:

Q(3). (4)

С использованием введенных пока символов (3) и (4) дают переводы посылок рассуждения, приведенного в начале этого параграфа.

2. Предложение

Некоторые действительные числа являются рациональными

Можно перевести так:

Существует такое Х, что Х — действительное число и

Х — рациональное число.

Пользуясь введенными выше предикатами, можно теперь символически записать наше предложение в виде

Существует такое Х, что R(X)Q(X). (5)

3. Предложение

Существует такое Х, что R(X) → Q(X). (6)

Должно иметь тот же смысл, что и

Существует такое х, что (x), (7)

Поскольку мы только заменили «R(Х) → Q(Х)» его эквивалентом «». Можно (7) перевести теперь словами так:

Существует нечто, которое или не есть действительное число, или есть

Рациональное число.

Конечно, это высказывание [имеющее тот же смысл, что и (6)] не имеет того же смысла, что и (5). В самом деле, как только мы укажем предмет, не являющийся действительным числом, мы должны будем согласиться с (6). Резюмируя, можно сказать: смыслы (6) и (5) различны.

На основании принятых допущений, если переменным предиката приписать подходящие значения, то мы получим высказывание. Например, если S(X) обозначает «X есть второкурсник», то из этого предиката

Получается высказывание «Джон есть второкурсник». Высказывание можно получить из S(X) также, если предпослать ему выражение «Для всякого X».

Для всякого Х х есть второкурсник. (8)

Несомненно, мы предпочли бы перефразировать (8) в виде:

Всякий человек — второкурсник. (9)

Выражение «для всякого Х» называется квантором общности. Мы считаем «для всякого Х», «для всех X» и «для каждого X» выражениями, имеющими одинаковый смысл, и символически записываем любое из них

В виде

или (X).

Пользуясь этим обозначением, мы можем записать (8) или (9) в следующей символической форме:

(X)S(X).

Подобным же образом, предпослав S(X) выражение «существует X (такое, что)», получаем высказывание, имеющее тот же смысл, что и «существуют второкурсники». Выражение «существует X» называется квантором существования. Мы считаем «существует Х», «для некоторых X», «по меньшей мере для одного Х» выражениями, имеющими одинаковый смысл, и символически записываем любое из них в виде

Таким образом, «S(X)» представляет собой в символической форме предложение «существуют второкурсники».

В каждом из примеров А квантор стоит не только перед предикатом, но и перед «формой от X»[1]; под этим мы будем понимать временно выражение, составленное из одноместных предикатов Р(Х), ... с использованием сентенциональных связок. Применяя обозначение, введенное для квантора общности, мы можем теперь записать предложение «всякое рациональное число есть действительное число» в окончательном виде:

(X)(Q(X) → R(X)). (10)

Возможно, читатель уже заметил, что это просто значит то же. что и QR. В самом деле, если вспомнить определение «отношения включения» для множеств, то станет ясно, что (10) представляет случай, под-

Ходящий под это определение. Далее, отметим, что (10) типично для высказываний вида «всякое то-то есть то-то».

Подобным же образом предложение «некоторые действительные числа являются рациональными» можно перевести в символическую форму следующим образом:

(11)

Смысл этого предложения сводится просто к тому, что RQ — непустое множество; это — симметричная форма первоначального предложения. Обычная ошибка начинающих состоит в следующем: исходя из того, что высказывание вида «всякое то-то есть то-то» можно символически записать в виде (10), они заключают, что высказывание «некоторые то-то суть то-то» можно символически записать как

Однако, как отмечено в третьем из примеров А, такое высказывание имеет тот же смысл, что и

Мы должны признать это истинным, как только будет указан предмет, который не является действительным числом. Следовательно, выражение не имеет отношения к тому, что мы хотели сказать, т. е. что некоторые действительные числа являются рациональными.

Примеры В

1. Понятие формы от X, описанное (несколько неопределенно) выше, совпадает с тем, которое было дано в главе I. Там было сказано, что такое выражение часто называется свойством (X-а). С понятием свойства, в соответствии с интуитивным принципом абстракции, связывается некоторое множество. Распространяя очевидным образом понятие формы от Х на форму от Х и У, мы можем связывать с формой А (Х, у) такие упорядоченные пары , что А(А, B) истинно. Иначе говоря, форму от X и У можно применить для определения бинарного отношения. Вследствие этого формы от двух переменных часто называют бинарными отношениями, формы от трех переменных—тернарными отношениями и т. д.

2. Пусть А(Х) есть форма от Х. Рассмотрим следующие четыре высказывания:

(a) (Х)А(Х); (c) ;

(b) ; (d) .

Мы можем выразить их словами следующим образом:

(a) Всякий предмет обладает свойством А.

(b) Нечто обладает свойством А.

(d) Нечто не обладает свойством А.

Но (d) есть отрицание для (а), а (с) есть отрицание для (b) на основании обычного смысла этих выражений. Таким образом, например, квантор существования можно определить через квантор общности, условившись, что «» представляет собой краткую запись вместо «».

3. Традиционная логика особое внимание обращала на четыре основных типа высказываний, связанных в записи с применением кванторов. Ниже приводятся примеры этих четырех типов вместе с их переводом в символический вид. Два из этих переводов уже рассмотрены выше.

Все рациональные числа действительные

Ни одно рациональное число не является

Действительным

Некоторые рациональные числа действительные

Некоторые рациональные числа не являются

Действительными

4. Если в форму входят символы отрицания и кванторы, то порядок их расположения в ней имеет значение. Например, словесным переводом для

(Х) (Х смертен)

Будет «не всякий смертен» или же «кто-то бессмертен», тогда как перевод для

(Х) (~ (Х смертен))

Будет «всякий бессмертен».

5. Поставив перед формой от нескольких переменных квантор (тот или другой) для каждой из переменных, получаем высказывание. Например, если условиться, что все переменные относятся только к множеству действительных чисел, то

Есть высказывание, утверждающее, что операция сложения ассоциативна. Аналогично

Переводится фразой «для всякого (действительного числа) Х существует такое (действительное число) У, что х2 — у = у2 — х». Это высказывание истинно. Отметим, однако, что

Полученное из предыдущего перестановкой кванторов, является другим, и притом ложным, высказыванием.

6. В дополнение к первому замечанию в предшествующем примере отметим, что форма от нескольких переменных может быть сведена к высказыванию еще и подстановкой вместо всех вхождений некоторых переменных их значений и присоединением кванторов, относящихся к остальным переменным. Например (ложное) высказывание

(х)(х<3)

Получается из двуместного предиката и «X < у» подстановкой некоторого значения вместо У и квантора, относящегося к Х.

Заканчивая этот параграф, отметим, что для перевода предложений с русского языка на язык введенных здесь логических обозначении не существует механических правил. В каждом отдельном случае нужно сначала установить, каков смысл переводимого предложения, а затем пытаться передать тот же смысл с помощью предикатов, кванторов и в иных случаях предметных постоянных.

Начиная с помещенных ниже упражнений, мы будем часто опускать круглые скобки при записи предикатов. Например, вместо «A(X)» мы будем писать «Ах» и «А(х, у)» будем записывать просто в виде «Axy».

Упражнения

1. Пусть Рх обозначает «X — простое число», Ех — «X — четное число». Ох — «х — нечетное число» и Dxy — «У делится на Х». Перевести на русский язык:

(a) Р7; (e) ;

(b) ; (f) ;

(d) ; (h) ;

(i)

2. Ниже помещены двадцать предложений на русском языке, за которыми следует столько же предложений в символическом виде. Попробуйте соединить в пары элементы этих двух множеств так, чтобы каждый член пары был переводом другого ее члена.

(a) Все судьи — юристы (Jx, Lx).

(b) Некоторые юристы — жулики (Sx).

(d) Некоторые судьи — старики, но бодрые (Ox, Vx).

(e) Судья Джонс не стар и не бодр (I).

(f) He все юристы — судьи.

(g) Некоторые юристы, являющиеся политиками, — члены конгресса (Рх, Сх).

(h) Ни один член конгресса не бодр.

(i) Все старые члены конгресса — юристы.

(j) Некоторые женщины одновременно являются юристами и членами конгресса (Wx).

(к) Ни одна женщина не является одновременно политиком и

Домашней хозяйкой (Нх).

(l) Некоторые женщины-юристы являются домашними хозяйками.