11. Метод математической индукции

Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от , т. е. истинность высказывания P(N) Для "NÎN (для любого NÎN P(N) Верно).

Часто это удается доказать Методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение P(N) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:

1. Предложение P(N) истинно для N = 1.

2. Из предложения, что P(N) истинно для N = K (K - Произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для N = K + 1.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства

1. Проверяют истинность утверждения для N = 1 – база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для N = K – Индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для N = K + 1 индуктивный переход.

Иногда предложение P(N) оказывается верным не для всех натуральных N, а начиная с некоторого для N = N0. В этом случае в базе индукции проверяется истинность P(N) при N = N0.

Пример 1. Пусть . Доказать, что

1. База индукции: при N = 1 по определению S1 = 1 и по формуле получаем один результат. Утверждение верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = k и .

3. Индуктивный переход. Пусть N = k + 1. Докажем, что .

Действительно, в силу индуктивного предположения

Преобразуем это выражение

Индуктивный переход доказан.

Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!

Пример 2. Доказать

.

1. База индукции. При N = 1, утверждение, очевидно, верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = K и

3. Индуктивный переход. Пусть N = K + 1. Докажем:

Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:

Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметической прогрессии: , получим

Пример 3. Доказать неравенство

для .

1. Базой индукции в этом случае является проверка истинности утверждения для , т. е. необходимо проверить неравенство . Для этого достаточно возвести неравенство в квадрат: или 63 < 64 – неравенство верно.

2. Пусть неравенство верно для , т. е.

.

3. Пусть , докажем:

.

Используем предположение индукции

Зная как должна выглядеть правая сторона в доказываемом неравенстве выделим эту часть

Остается установить, что лишний множитель не превосходит единицы. Действительно,

.

Пример 4. Доказать, что при любом натуральном число оканчивается цифрой .

1. Наименьшее натуральное , с которого справедливо утверждение, равно . .

2. Пусть при число оканчивается на . Это означает, что это число можно записать в виде , где – какое-то натуральное число. Тогда .

3. Пусть . Докажем, что оканчивается на . Используя полученное представление, получим

Последнее число имеет ровно единиц.

Задачи.

1. Доказать, что при каждом верны равенства

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10).

2. Доказать, что при любом .

1) кратно .

2) кратно .

3) кратно .

4) кратно .

5) кратно .

6) кратно 19.

3. Доказать справедливость следующих неравенств для всех натуральных .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

4. Доказать, что при любом натуральном верно неравенство

1) . 2) .

5. Доказать равенство для любого

1) ,

(в левой части содержится корней).

2) .

6. Пусть – произвольные неотрицательные числа, причем

.

Доказать, что .

7. Доказать неравенство Бернулли

,

8.Пусть – произвольные положительные числа, причем

. Доказать, что .

< Предыдущая		Следующая >