04. Функция

Пусть Х и У два множества и F отношение в Х´У.

Определение. Отношение F называется Функцией из Х в У, если оно удовлетворяет свойству:

Из xFy и xFz следует, что y = z.

В дальнейшем мы будем применять также обозначение y = F(x) вместо xFy, если F является функцией. Множества DF и RF , введенные в предыдущем пункте для функции F носят соответственно названия: DF - Область определения и RF - Область значений функции F. Очень часто область определения и область значений заранее не задаются, а возникают, исходя из задания функции.

Примеры.

1) {(1,2), (2,2), (Рузвельт, Черчилль)};

2) {(1,2), (1,3), (2,2)};

3) {(x, x2 +x+1)|xÎR};

4) {(x2 ,x)|xÎR}.

Из приведенных примеров 1 и 3 определяют функцию, а 2 и 4 не являются функцией, т. к. не выполнено определение функции.

Для функции применяются также другие названия: преобразование, отображение, соответствие. Если y = F(x), то x называют Аргументом функции, а y Образом.

Две функции F и G считаются равными, если выполнены равенства соответствующих множеств. Последнее эквивалентно следующим двум равенствам:

DF =DG и F(x)=G(x) для "xÎDF.

Следующие определения переносятся с отношений:

1) В случае, когда DF = Х функцию называют Всюду определенной.

2) Функция F из Х в У называется Сюръекцией (или Отображением на), если RF =У.

3) Функция F из Х в У называется Инъекцией (Или однозначным отображением), если из х1 ¹ х2 следует, что F(х1) ¹ F(х2).

Всюду определенная функция F из Х в У называется Биекцией, если она одновременно является сюръекцией и инъекцией.

Примеры: 1) функция у=еx - биекция из R в R+ ;

2) у=х2 - сюръекция из [-1, 1] на [0, 1], не являющаяся инъекцией.

Определение. Пусть F - функция из X в Y, а G - из Y в Z. Суперпозицией функций F и G называется такая функция H из X в Z, что z = H(x) (т. е. (x, z)Î H Í X´Z) тогда и только тогда, когда y=F(x) и z=G(y). Суперпозиция обозначается GoF. В определении Н – функция, почему?

Определение. Для функции F из Х в У функция G из У в Х называется Правой обратной (соответственно, Левой обратной), если справедливо равенство FoG=IУ (соответственно, GoF=IХ), где через IХ (IУ) обозначено тождественное отображение на Х (соответственно на У), т. е. IХ(x) = x (IУ(y) = y).

Функция у=х2, из рассмотренного выше примера не имеет левой обратной, но имеет правую обратную (ею является функция х= ). Однако если сузить область определения функции у=х2 до отрезка [0,1] (или [-1,0]), оставив туже самую область значений, то эта функция будет иметь уже и левую обратную: х= (соответственно, х= - ).

Лемма 1. Если функция F имеет левую обратную, то F является инъекцией.

Доказательство. Действительно, если бы F не являлась инъекцией, то существовали бы х1 ¹ х2 такие, что y=F(x1)=F(x2). Пусть G - левая обратная к F, то x1 = GoF(x1 ) = G(y) = GoF(x2 ) = x2, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если функция F имеет правую обратную, то F является сюръекцией.

Доказательство. Утверждение легко вытекает из определения правой обратной функции G: для любого уÎУ Þ FoG(у)=у.

Лемма 3. Если у функции F из Х в У существуют левая и правая обратная функции, то они совпадают.

Доказательство. Пусть G и H - обозначают соответственно левую и правую обратную функции к F. Тогда DG = RF = DH = У. Остается проверить равенство G(y) = H(y) для любого yÎУ. Но G(y) = G(IУ(y)) = G(F(H(y))) = IХ(H(y)) = H(y).

Определение. Функция из У в Х, которая является правой и левой обратной к функции F, называется Обратной функцией к F и обозначается через F -1.

Теорема. Пусть F является функцией из Х в У. Для существования обратной функции F-1 из У в Х необходимо и достаточно, чтобы F была биекцией.

Необходимость легко вытекает из лемм 1 и 2.

Достаточность. Пусть yÎУ. Так как F является сюръекцией, то существует хÎХ такое, что F(x)=y. При этом такое х одно, так как F также и инъекция. Определим функцию G(x)=y. Легко проверить, что таким образом определенная функция является обратной к F.

Следствие. Если F является биекцией, то и F-1 также является биекцией.

Задачи.

1. Установить, что следующие отношения являются функцией:

А) вÎУ, R = X´{в}ÍX´У (постоянное отображение);

Б) R = {(x, x): xÎX}ÍX´X (тождественное отображение IX);

В) R = {((x, y), x)}Í(X´Y)´X ( проекция на Х);

Г) R = {((x, y), у)}Í(X´Y)´Y ( проекция на Y).

2. Пусть А - произвольное множество из области определения функции f(х). Верно ли равенство f -1 [f(A)] = A всегда?

3. Пусть В - произвольное множество из области значений функции f(х). Верно ли равенство: f[f -1 (B)] = B всегда?

4. Верны ли равенства:

F(AÈB) = f(A)Èf(B);

F(AÇB) = f(A)Çf(B)?

5. Верно ли, что f(R – А) = f(R) – f(А), где R - область определения функции?

6. Пусть А и В - два множества из области значений функции у = f(х). Верны ли равенства:

F -1 (AÇB) = f -1 (A)Çf -1 (B),

F -1 (AÈB) = f -1 (A)Èf -1 (B)?

7. Пусть L - область значений функции у = f(х), а АÍL. Справедливо ли равенство: f -1 (L – A) = f -1 (L) – f-1 (А)?

8. Задана функция f: х ® х2 + рх + q и интервал (a, b). Определить множество f -1 ((a, b)).

9. Задана функция f из А в В. Доказать, что для всякого МÍВ справедливо включение f[f -1 (M)] Í M. Пусть Е ÍА. Доказать, что f-1 [f(E)] ÊE.

10. Задана функция f из А в В. Пусть Е1 ÍА, Е2 ÍА, М1 ÍВ, М2 ÍВ. Доказать, что если Е1 ÍЕ2 , то f(Е1)Íf(Е2), если М1 ÍМ2, то f -1 (М1) Í f -1(М2).

11. Задана функция f из А в В. Доказать, что следующие условия попарно эквивалентны:

А) f - инъекция;

Б) f -1 (f(Е)) = Е для любого ЕÍА;

В) f(ЕÇМ) = f(Е)Çf(М) для любых Е, МÍА;

Г) f(Е)Çf(М) = Æ для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что ЕÇМ= Æ;

Д) F(Е – М) = f(Е) – f(М) для любой пары множеств ЕÍА, МÍА такой, что МÍЕ.

12. Пусть даны множества А, В, С, D и функции

F: А ® В, g: В ® С, h: С ® D.

Доказать, что если каждая из суперпозиций gof и hog есть биекция, то и все функции f, g и h являются биекциями.

13. Пусть А - конечное множество и f функция из А в А. Доказать, что

А) если f является сюръекцией, то f также и инъекция;

В) если f является инъекцией, то f также и сюръекция.

14. Построить отношения, удовлетворяющие следующим требованиям:

А) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;

Б) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;

В) симметричное, транзитивное, не рефлексивное.

< Предыдущая		Следующая >