01. Введение. Понятие множества

С множествами математика, как таковыми, оперирует с начала своего существования. Однако формирование понятия множества начало происходить значительно позже - в 19 веке. Большое влияние на формирование этого понятия оказали работы Больцано1, Дедекинда1, Дюбуа-Реймона1, но эти математики рассматривали лишь конечные множества. Переход к изучению бесконечных множеств и операций над ними представлял принципиальную трудность. Свидетельством последнего являются различные противоречия (антиномии теории множеств), открытые разными учеными к 1900 г. Изучение бесконечных множеств было начато в работах Георга Кантора в 1871-1883 гг., которые встречали активное сопротивление современников. Кантор употреблял вначале термин Inbegrift - “совокупность”, затем Mannigfaltigkeit - “многообразие”, и наконец, Menge - “множество”, в настоящее время сохранилось его обозначение множества M = {m}, которое он ввел в 1895 году. Официальное признание теории множеств прозвучало на Первом международном математическом конгрессе (Цюрих, 1897 г.), где Адамар и Гурвиц указали на важные применения этой теории к анализу. Большое значение в распространении идей теории множеств принадлежит Гильберту. Именно он сказал: “Никто не сможет нас изгнать из рая, созданного Кантором”.

Георг Кантор считается основателем современной теории множеств. В его работах началось построение аксиоматической теории множеств, хотя первая система аксиом теории множеств была предложена позднее в работах Цермело в 1904-1908 гг. Эта система аксиом позволила получить важные для математики результаты по теории множеств. Но лишь в 1940 году Гедель построил наиболее полную систему аксиом и доказал ее непротиворечивость.

Понятие множества с современной точки зрения считается интуитивно заданным. Попытки дать определение множества приводят к сведению понятия множества к другим подобного рода понятиям: совокупность, набор и т. д.

Что же такое множество по Г. Кантору? Множество по Кантору - это любое собрание определенных и различных между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое.

Таким образом, каждое множество состоит из объектов, которые в дальнейшем называются элементами множества. Множества обычно обозначаются большими буквами: А, Х и т. д. Элементы же множеств, как правило, обозначают маленькими буквами: а, х и т. д. Для записи того, что а является элементом множества А применяется значок Î (символ принадлежности). Пишут: аÎА и говорят, что элемент а принадлежит множеству А. В случае, когда а не является элементом множества А, пишут аÏА. Множество может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов, соответственно, говорят, что множество конечно или бесконечно.

Интуитивный принцип объемности Г. Кантора (1 аксиома Геделя): множества А и В считаются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим некоторые примеры множеств (одновременно мы увидим

Некоторые способы их задания):

А = {множество всех положительных четных целых чисел},

В = {множество всех положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных целых чисел},

C = {2, 4, 6},

D = {2, 6, 4}.

Из принципа объемности следует, что справедливы равенства А = В и С = D. Здесь приведены два наиболее принятых способа задания множеств: описательный, когда элементы множества должны удовлетворять определенному свойству или закону, и перечислительный, когда перечисляются все элементы множества. И в том и другом случае множества заключены в фигурные скобки.

Рассмотрим еще два примера: А = {1, 2}, B = {{1}, 2}. Нетрудно заметить, что А ¹ В. Это связано с тем, что множество А состоит из двух элементов: 1 и 2, а множество В из двух элементов: {1} и 2, где {1} не является числом, а является множеством, состоящим из одного элемента.

Для некоторых множеств существуют стандартные обозначения:

Æ - пустое множество, т. е. множество не имеющее ни одного элемента (наличие такого множества предполагается второй аксиомой Геделя);

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

Добавление к упомянутым множествам знака “+” выделяет из них только положительные числа, например, Z+ - множество целых положительных чисел.

Одним из основных приемов задания множества является задание его с помощью так называемых форм, т. е. выражения вида А= {x: P(x)}. Здесь P(x) некоторое высказывание и множество А состоит только из тех x, для которых высказывание P(x) является верным. Например,

A = {x: x2 + x + 1 > x};

B = {x: х любит Джона}.

Отметим, что множеству А принадлежат все действительные числа, т. е. оно совпадает с множеством R.

Интуитивный принцип абстракции Г. Кантора: любая форма Р(х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие объекты А, что Р(А) есть истинное высказывание.

Оказалось, что интуитивный принцип абстракции не совсем точен и может привести к парадоксам. Один из таких парадоксов был приведен в 1902 году Б. Расселом. Он состоит в следующем: будем говорить, что множество А обладает свойством D, если для него верно АÏА. Введем теперь множество

Т = {А: А удовлетворяет свойству D}.

Заметим, что если ТÎТ, то множество Т не удовлетворяет свойству D и, следовательно, ТÏТ. Если же ТÏТ, то множество Т удовлетворяет свойству D и, следовательно, ТÎТ.

Приведем пример еще одного парадокса. Это довольно известная история, и у нее есть много версий.

В одном полку жил-был полковой парикмахер, которого по историческим причинам называют брадобреем. Однажды командир приказал ему брить тех и только тех, кто не бреется сам. Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должен все-таки себя побрить...

Уточнением интуитивного принципа абстракции является Аксиома выбора Геделя, позволяющая избежать указанного парадокса: для любого высказывания Р и любого множества А существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, для которых высказывание Р(х) является истинным, то есть форма задается в виде {xÎA: P(x)}.

В приложении мы приведем набор аксиом, используемых в теории множеств.

Задачи.

1) Равны ли множества:

a) {{1, 2}, {2, 3}} и {1, 2, 3};

b) {{1, 2}} и {1, 2};

c) {x: xÎN и x < 5} и {x: xÎN и (x+1)2 < 29}.

2) Верно ли, что {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}.

3) Привести пример множеств A, B, C: AÎB, BÎC, но AÏC.

4) Доказать, что для всех a, b, c, d равенство {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} выполняется тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Следующая >