19. Теория вероятностей и математическая статистика

1. Элементы комбинаторики Размещением с повторениями Из N по M Элементов называется конечная последовательность элементов некоторого множества . Если все члены выборки различны, то последовательность называется Размещением без повторений. Размещения без повторения - M-Элементные выборки, различающиеся либо входящими элементами, либо порядком их следования. Размещение с повторениями – это выборка с возвращением выбираемых элементов. Число всех возможных Размещений с повторениями равно (число комбинаций, выбираемых из M групп, содержащих по N элементов). Размещение без повторения – выборка без возвращения выбираемых элементов. Общее число различных комбинаций – Размещений без повторений обозначается символом и равно (количество выборок из M групп, содержащих соответственно , , …, элементов).

Перестановками называются размещения из N По N Элементов. Общее число перестановок обозначают символом .

Сочетаниями из N по M Элементов называются M- Элементные подмножества множества , имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом .

Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:

2. Классическое определение вероятности

, где N – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), M – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.

3. Геометрическое определение вероятности

. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω пропорциональна мере (длине, площади, объему и т. д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.

4. Основные свойства вероятности

Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):

.

Для полной группы несовместных событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

- теорема умножения.

Если события А и В – независимые, то

- теорема умножения.

5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Если известно, что событие А Может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез после того как имело место событие А Переоценивают по формулам Байеса:

6. Если производится N Независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна P (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих N испытаниях событие А наступит ровно K раз, выражается формулой Бернулли:

Число Называется Наивероятнейшим числом наступления события А

В N испытаниях по схеме Бернулли, если значение при

Не меньше остальных значений. Число можно найти из двойного неравенства:

.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших N

Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших N вероятность того, что в серии испытаний событие А появится от до раз, выражается приближенной формулой:

,

- функция Лапласа.

Теорема 3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При и малых P, если среднее число успехов , имеет место приближенная формула

.

< Предыдущая		Следующая >