01. Программа по высшей математике для студентов первого курса заочной формы обучения (второй семестр)

Дифференциальные уравнения

Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для ДУ первого порядка. Геометрический смысл решений задачи Коши. Понятие общего, частного и особого решений.

Основные типы ДУ первого порядка. ДУ с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения, линейные ДУ 1-го порядка, ДУ Бернулли, ДУ в полных дифференциалах.

ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка. Три основных типа – правая часть не содержит искомой функции и её производных, правая часть не содержит функции, правая часть не содержит аргумент.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Постановка задачи Коши и краевой задачи. Структура общего решения однородного и неоднородного ДУ. Линейные однородные и неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами. Частные решения ЛНДУ специального типа. Метод вариации произвольных постоянных.

Ряды

Числовые ряды. Определение суммы ряда и основные свойства. Примеры геометрического и гармонического рядов. Необходимый признак сходимости.

Положительные ряды. Критерий сходимости положительных рядов. Достаточные признаки сходимости: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов и следствие из этой теоремы об оценке остатка ряда.

Степенные ряды. Теорема Абеля и следствие из этой теоремы о существовании для степенных рядов интервала сходимости. Радиус сходимости степенного ряда и его вычисление. Свойства степенных рядов: теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Логарифмический ряд. Ряды Тэйлора и Маклорена. Условия представимости функции ее рядом Тэйлора. Единственность представления заданной функции степенным рядом. Разложение элементарных функций Ex, Cos x, sin x, (1+x)M В степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье. Понятие тригонометрического ряда. Определение ортогональных систем функций и тригонометрическая система функций. Формулы Эйлера-Фурье и определение ряда Фурье. Достаточные условия представимости функции с периодом T=2p ее рядом Фурье (теорема Дирихле). Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций. Ряд Фурье в случае произвольного периода T=2l и ряд Фурье для функции, заданной на несимметричном интервале.

Основные понятия. Случайные события. Алгебраические операции над событиями. Множество элементарных событий. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности события. Вероятностное пространство.

Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события. Геометрическое определение вероятности события.

Задачи классической вероятности. Элементы комбинаторики. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

Теорема умножения. Определение условной вероятности. Независимость событий.

Вероятности сложных событий. Формулы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формулы Байеса.

Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Случайные величины. Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ) и случайные величины непрерывного типа (СВНТ).

Задание случайных величин. Закон распределения ДСВ.

Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты. Свойства математического ожидания и дисперсии. Примеры ДСВ.

Гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, закон Пуассона.

Задание СВНТ. Функция распределения и функция плотности вероятностей. Свойства этих функций. Числовые характеристики СВНТ.

Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции случайных величин и их числовые характеристики. Независимость случайных величин.

Примеры непрерывных распределений. Равномерное, нормальное и показательное распределения.

Ковариация, коэффициент корреляции. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Предельные теоремы. Понятие о предельных теоремах. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.

Математическая статистика.

Выборка и способы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения.

Точечные оценки и их свойства. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке.

Интервальные оценки. Доверительный интервал, надежность и точность оценки. Доверительный интервал для центра нормального распределения при известной дисперсии. Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения нормального распределения.

Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.

Линейная регрессия. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов. Характер связи и его оценивание по коэффициенту корреляции.

Следующая >