Из истории математики

Пифагор Самосский родился в период с 530 до 510 г. до н. э. Хотя мы привыкли считать Пифагора прежде всего математиком, для своих современников он был прежде всего религиозным пророком, «выдающимся со­фистом», как называл его историк Геродот, а некоторые почитали Пифагора как святого.

В эту эпоху греческая математика только зарождалась, и главным ее источником ученые считают матема­тику древнего Египта и Вавилона. Косвенно этот исто­рический факт подтверждается тем, что между египет­ской, вавилонской и греческой математикой того перио­да имеется много точек соприкосновения.

Пифагор был одним из первых, благодаря кому достижения математики предшествующих цивилизаций проникли в древнюю Элладу. По преданию, Пифагор много путешествовал, провел 22 года в Египте и 12 лет в Вавилоне, где он постигал тайны математики, музыки и астрономии. Вернувшись на родину, он основал фило­софскую школу религиозного толка, объединившую группу философов софистов, которые занимались гео­метрией, арифметикой, астрономией и музыкой (так называемый «квадривий»). Пифагорейцы, как и другие философы, хотели постигнуть гармонию мира, т. е. по­знать законы природы. Но в отличие от философов дру­гих направлений, они полагали, что та логическая гар­мония, которая имеется в математике, существует не­спроста, а отражает свойства мироздания. Поэтому пи­фагорейцы искали законы природы в свойствах чисел и геометрических фигур и для них математика имела прежде всего мистическое значение. (По-видимому, в душу Пифагора глубоко проникли тот мистицизм и та таинственность, которыми египетские жрецы окружали науку, ревниво оберегая ее от непосвященных.)

Пифагорейцы сделали мало математических открытий. Многое из того, что им приписывается, было извест­но до них. В частности, известную нам теорему о сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника они приписывали Пифагору, хотя доказано, что ее знали уже вавилонские математики. Наиболее существенным достижением пифагорейцев было открытие иррацио­нальных чисел, которые они представляли в виде несо­измеримых отрезков. Например, диагональ квадрата со стороной единица равна корню из двух, т. е. эти отрез­ки — сторона и диагональ — несоизмеримы. Скорее все­го, пифагорейцам было известно то доказательство иррациональности числа , которое приведено на с. 17.

Пифагорейцы вели активную преподавательскую деятельность (их устав запрещал брать плату за уроки!), и во многом благодаря им математика заняла впослед­ствии в Греции столь значительное место. Последовате­ли пифагорейцев (неопифагорейцы) сделали уже значи­тельные математические открытия.

Евклид жил, по-видимому, во времена царя Птолемея I. Точные даты его рождения и смерти неизвестны, предполагают, что он родился в период с 365 по 335, а умер в период с 300 по 275 г. до н. э. Птолемей I был одним из полководцев Александра Македонского и пос­ле смерти великого завоевателя получил в управление Египет. Греческая цивилизация проникла в Египет и его новая столица Александрия стала одним из научных центров мира. Известно, что Евклид был профессио­нальным ученым. Самое известное и выдающееся его произведение «Начала» состоит из тринадцати книг. В них Евклид мастерски изложил все имеющиеся к то­му времени сведения по геометрии, добавив многие не­достающие теоремы и доказательства. «Изложение Евк­лида построено в виде строгих логических выводов из системы определений, постулатов и аксиом. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоско­сти. Исходя из наиболее простых свойств линий и уг­лов, мы приходим здесь к равенству треугольников, ра­венству площадей, теореме Пифагора, построению квад­рата, равновеликого заданному прямоугольнику, к золо­тому сечению, кругу и правильным многоугольникам...» ([15], с. 69).

Предание гласит, что Евклид так ответил царю Птолемею, пожелавшему изучить геометрию: «К геометрии нет царской дороги».

Архимед (287-212 гг. до н. э.) был самым выдающимся математиком и механиком древности. Он жил в Сиракузах и был советником царя Герона. Об Архимеде осталось много сведений, прежде всего в произведениях писателей древности — Плутарха, Полибия, Цицерона, Витрувия и др. Имея в виду необычную для того време­ни склонность Архимеда к практическим делам, Плу­тарх пишет: «Хотя эти изобретения заслужили ему ре­путацию сверхчеловеческой проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо сочинение, написанное по таким вопросам, а, считая низким и не­достойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд».

В то же время интересной является и характеристика Архимеда, данная современным историком И. Н. Веселовским: «Если придерживаться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и за­кончил ее как механик, и в математических его произ­ведениях механика является могучим средством для по­лучения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования математических теорий».

Основные математические результаты Архимеда связаны с вычислением площадей и объемов различных фигур. Он нашел с помощью правильного 96-угольника (!) очень хорошее приближение для числа p. В его трактате «О плавающих телах» находится названная его именем известная теорема о потере веса телами, погру­женными в жидкость. Математикам хорошо известна так называемая аксиома Архимеда, гласящая, что отре­зок любой длины можно измерить сколь угодно малень­ким отрезком.

Одним из самых удивительных и значительных изобретений Архимеда в астрономии был построенный им планетарий. Это была полая вращающаяся сфера, внутри которой находился механизм, приводящий в движение макеты Луны, Солнца и пяти планет. Вот свидетельство Цицерона, видевшего это устройство: «Как только Галл привел сферу в движение, стало видно, как с каждым оборотом Луна поднималась над земным го­ризонтом вслед за Солнцем, как это бывает каждый день на небе; а тогда можно было видеть, как затмева­лось Солнце, а Луна попадала в теневой конус Земли, когда Солнце как раз напротив...» ([14], с. 293).

На могильной плите Архимеда изображен цилиндр с вписанным в него шаром, а эпитафия гласит об одном из самых замечательных открытий Архимеда: объемы этих тел относятся как 3:2.

Аполлоний Пергский (приблизительно 260-170 гг. до н. э.) был третьим (после Евклида и Архимеда) вели­ким математиком эпохи эллинизма. Его основной труд — «О кониках» — представляет собой трактат из восьми книг о конических сечениях. Напомним, что это эллип­сы, гиперболы и параболы (см. сноску на с. 108). Апол­лоний настолько подробно исследовал их свойства, что в следующие 18 веков (до Декарта) ничего существенно нового в этом направлении получено не было.

Аполлоний намного опередил свое время. Его результаты о кривых второго порядка нашли применение в законах движения планет Кеплера (XVII в.). Аполло­ний умел, например, при помощи только циркуля и ли­нейки строить окружность, касающуюся трех заданных окружностей. Эта непростая задача (она так и называет­ся: задача Аполлония) до сих пор входит в программу подготовки студентов — будущих учителей математики. Он ввел термины «гипербола», «парабола», «асимпто­та», которыми мы пользуемся и сейчас. Как и Архимед, он внес существенный вклад в практику вычислений.

Эратосфен Киренский жил приблизительно в 276— 194 гг. до н. э., т. е. был современником Архимеда. Он был знаменит как математик, географ, филолог, исто­рик и поэт. Он составил карту мира в предположении, что Земля — шар. Эратосфен считается основателем хронологии, т. е. науки о точном определении истори­ческих дат. Он вычислил наклон эклиптики, расстояния от Земли до Солнца и Луны, длину экватора.

Самым большим открытием Эратосфена в арифметике было его знаменитое «решето» (решето Эратосфена), позволяющее выделять простые числа (см. гл. I, § 1). Он нашел также простое механическое решение знаменитой задачи древности об удвоении куба,* т. е. о построении куба с объемом в два раза больше данного. Большую историческую ценность представляет собой дошедшая до нас стихотворная эпиграмма Эратосфена, посвященная этой задаче. В ней он сравнивает свое решение с другими, принадлежащими знаменитым математикам древности:

* Так называемая делийская задача.

Если бы, друг, ты замыслил большое из малого сделать,

Куб сотворить ли двойной, иль перестроить объем,

Это возможно — и сени расширить, и яму просторней

Выроешь и водоем влагой наполнишь двойной.

Вот мой прибор: меж линеек две средние сразу отыщешь,

Между краями других ты их отметишь концы.

Нужды тебе уж не будет в премудром цилиндре Архита,

В конусе не для тебя высек триаду Менехм.

И с богоравным Евдоксом изогнутых линий не надо,

Циркулем вооружась, тонкий изгиб находить.

Сдвинув отважно линейки, легко мириады построить

Средних желанных твоих, с меньшей из данных начав.

Счастлив ты, царь Птолемей, — ты дал вечно юному

Сыну

Равноблаженному дар сладкий для Муз и царей.*

Зевс, бог Вселенной!

В грядущем пусть с милостью той же он примет

Скипетр от царской руки — и да свершится сие.

Тот же, кто жертву во храме великом увидит, да скажет:

— Дар этот Эратосфен людям, измыслив, принес.

* Эратосфен был воспитателем наследника престола — сына царя Птолемея и главой всемирно знаменитой Александрийской библиотеки.

Франсуа Виет (1540-1603) — «отец алгебры» — был по образованию юристом и служил при дворе короля Генриха IV. Интерес к математике возник у Виета вследствие его увлечения астрономией. Он усовершен­ствовал теорию алгебраических (в частности, кубиче­ских) уравнений, открыл связь между корнями уравне­ния и его коэффициентами (формулы Виета). Виет од­ним из первых начал использовать буквенные обозначе­ния. Он вычислил число p с девятью точными знаками, улучшив результат Архимеда, и показал, что

Про Виета известна такая история. В 1593 г. один бель­гийский математик предложил желающим найти корни уравнения

Х45 – 45X43 + 945Х41 – 12300X39 + ... – 3795X3 + 45Х = А

(А — некоторое вещественное число).* Виет нашел 23 положительных решения этого уравнения, заметив, что его «страшная» левая часть представляет собой некото­рую тригонометрическую формулу.

* Такого рода публичные вызовы были характерны для той эпохи.

Во время войны Франции с Испанией, Виет нашел ключ к шифру, который употребляли испанцы, и более того, сумел найти средство следить за последующими изменениями этого шифра.

Шотландскому лорду Джону Неперу (1550-1617) мы обязаны открытием логарифмов. Число Е назвали непе­ровым числом в общем-то случайно.

Иоганн Кеплер (1571-1630) — один из величайших астрономов XVII в., совершивших революцию в науке. Он впервые сформулировал законы движения планет около Солнца, которые потом обосновал Ньютон с по­мощью своей теории тяготения.

Проблемы новой астрономии были связаны с боль­шими вычислениями, что заставило Кеплера много за­ниматься математикой. Его важнейшие математические открытия содержатся в книге «Стереометрия винных бочек», в которой он вычислял объемы тел вращения. По существу, Кеплер использовал идею предельного пе­рехода, рассматривая, например, площадь круга как сумму площадей большого числа маленьких треуголь­ников с вершинами в центре круга. Книга получила широкое распространение, т. к. была написана на доступ­ном для широкого круга читателей языке.

Кеплер никогда не скрывал, что он приверженец идей Николая Коперника, поэтому католическая цер­ковь его постоянно преследовала. С 1600-го года Кеплер переехал в Прагу, где впоследствии император Рудольф Второй назначил его своим придворным математиком.

Это дало Кеплеру возможность спокойно работать до самой смерти.

Дворянин из французского города Турени Рене Де­карт (1596—1650) служил в армии и имел много времени для философских размышлений и занятий математикой. Семнадцатый век был веком великих открытий в есте­ствознании, и в это время математика, служившая ос­новой физики и механики, становится самой авторитет­ной и почитаемой наукой — становится царицей наук. Логическая стройность математики давала повод к по­иску логики в строении Вселенной, к поиску общих ра­циональных методов в науке. Заслуга Декарта как ма­тематика прежде всего в том, что он применил в геомет­рии хорошо развитые к этому времени алгебраические методы. Свои идеи Декарт изложил в книге «Геомет­рия», которая была опубликована в 1637 г.

Пьер Ферма (1601-1665) известен нашим современ­никам как выдающийся математик. С его именем свя­заны две знаменитые теоремы из теории чисел («малая теорема Ферма» и «великая теорема Ферма»), принцип Ферма в оптике; вместе с Декартом его считают осно­воположником координатного метода в геометрии; в пе­реписке Ферма с известным ученым того времени Блезом Паскалем (1623-1662) возникли первые теоремы теории вероятностей. Но немногие знают, что по образо­ванию Ферма был юристом и практически всю жизнь проработал в этом качестве советником парламента в Тулузе (Франция). Математикой он занимался на досуге и доказательств, как правило, не писал. После его смер­ти на полях «Арифметики» Диофанта (III в. н. э.) была найдена его запись о том, что им найдено «поистине удивительное доказательство» известной проблемы из теории чисел: уравнение

Где П — натуральное число, не имеет целых положи­тельных решений при П > 2. Но ни доказательство само­го Ферма, ни какое-либо иное доказательство этого ут­верждения не найдено до сих пор.

Исаак Ньютон (1643-1727) — один из величайших математиков в истории человечества — родился в Линкольншире (Англия), в семье землевладельца. Он учил­ся в Кембридже, где позже стал профессором. В 1696 г. он занял весьма высокий и ответственный пост началь­ника монетного двора.

Ньютон первым открыл производные, названные им флюксиями. Последние появились в его книге «Матема­тические принципы натуральной философии», где он (также впервые) изложил открытый им Закон Всемир­ного Тяготения. Из него Ньютон вывел законы движе­ния планет, открытые Кеплером, объяснил явление приливов, сделал ряд других важных открытий. Кроме того, Ньютон придумал способ приближенного решения алгебраических уравнений и классифицировал кривые третьего порядка на плоскости.

Ньютон был крайне требователен к своим результа­там и публиковал их через много лет после открытия.

Готтфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) был нео­бычайно разносторонним и талантливым ученым. Юрист по образованию, он с большим успехом занимал­ся также философией, математикой, историей, теологи­ей, биологией, геологией, лингвистикой, состоял на дипломатической службе при дворе Майнцского кур­фюрста. К тому же Лейбниц был талантливым изобрета­телем. Он придумал одну из первых счетных машин, сконструировал ветряной двигатель для откачивания воды из шахт. Его счетная машина выполняла все дей­ствия арифметики, извлекала квадратные и кубические корни. Лейбниц совершенствовал свою машину в тече­ние всей жизни, так что в некотором смысле его можно считать основоположником машинной математики.

Но с наибольшей силой способности Лейбница про­явились в математике. Чуть позже Ньютона он открыл дифференциальное исчисление, причем в более общей форме и почти в современной терминологии. Лейбниц ввел много математических обозначений и придумал много новых терминов, которыми мы пользуемся до сих пор: Dx И Dy, знак интеграла, термины «функция», «координаты», «дифференциальное и интегральное ис­числение», «дифференциальное уравнение», «абсцисса», «ордината», «координата», «алгоритм». Он записал в современной форме правила дифференцирования, ввел логическую символику и т. д.

Лейбниц родился в Лейпциге, большую часть жизни прожил в Ганновере, исполняя должность библиотекаря и историографа при дворе ганноверского герцога, и был очень верующим человеком.

Леонард Эйлер (1707-1783) — величайший ученый XVIII в., оставивший яркий след почти во всех областях математики, механики, физики, астрономии, навигации и т. д. Ему принадлежит более 850 научных работ, мно­гие из которых посвящены труднейшим проблемам ма­тематики и ее приложений. В 19-летнем возрасте его пригласили работать в Петербургскую академию наук, где он проработал большую часть своей жизни. Он ока­зал существенное влияние на формирование математи­ческой школы и развитие математического образования в России. Известно, что Эйлер поддержал молодого Ло­моносова во время его конфликта с академиками.

В последние годы жизни от напряженной работы Эйлер потерял зрение, но продолжал работать столь же целеустремленно и плодотворно. За несколько дней до смерти он занимался расчетом полета аэростата, кото­рый в то время казался чудом.

Пьер Симон Лаплас (1749-1827) родился в семье не­богатого землевладельца. Он получил очень хорошее образование, прекрасно знал древние языки, литературу и искусство. Но мы знаем его как выдающегося матема­тика и физика. Ему принадлежат фундаментальные ре­зультаты в математике, математической физике и не­бесной механике, он справедливо считается одним из основоположников теории вероятностей. Лаплас зани­мался теорией теплопроводности, теорией капиллярно­сти и электродинамикой; доказал, что кольцо Сатурна не может быть сплошным; разработал теорию движения спутников Юпитера; предложил новый метод вычисле­ния орбит небесных тел и т. д.

Любопытно, что Лаплас придавал мало значения по­литике и религии. Хотя он учился в школе монашеско­го ордена бенедиктинцев, однако богословием не зани­мался, а увлекшись математикой, вообще стал атеистом. Он ладил как с Наполеоном, так и с Людовиком XVIII, принимая знаки уважения от обоих. Основные резуль­таты своих исследований Лаплас опубликовал в двух книгах: «Небесная механика» и «Аналитическая теория вероятностей».

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) — «король мате­матиков» — считается величайшим математиком всех времен и народов. Он получил выдающиеся результаты в теории чисел, алгебре, дифференциальной и неевкли­довой геометрии, астрономии и геодезии, электродина­мике и теории магнетизма. Вот слова Феликса Клейна, одного из самых больших знатоков научного наследия Гаусса: «Гаусс напоминает мне образ высочайшей вер­шины баварского хребта, какой она предстает перед глазами наблюдателя, смотрящего с севера. В этой гор­ной цепи в направлении с востока на запад отдельные вершины поднимаются все выше и выше, достигая пре­дельной высоты в могучем, высящемся в центре вели­кане; круто обрываясь, этот горный исполин сменяется низменностью новой формации, в которую на много де­сятков километров далеко проникают его отроги, и сте­кающие с него потоки несут влагу и жизнь».

Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге. Его математические способности проявились уже в третьем классе: прямо на уроке он подсчитал сумму всех нату­ральных чисел от 1 до 100, едва только учитель кончил диктовать эту задачу. Сам Гаусс говорил, что он на­учился считать раньше, чем говорить. По словам Фе­ликса Клейна, любовь Гаусса к счету сформировала его как математика: «Он непрерывно считает с прямо-таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упражнениям в действиях над числами, например, над десятичными дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличается всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобре­тает такой богатый опыт и такую широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладал кто-либо до или после него. Путем наблюдения над своими числами, стало быть, индуктивным, "экспериментальным" путем он уже рано постигает общие соотношения и законы».

Мы не можем перечислить здесь все математические открытия Гаусса. Расскажем об одном из них. Еще ма­тематикам древней Греции было известно, что при по­мощи только циркуля и линейки можно строить пра­вильные многоугольники с тремя, пятью и пятнадцатью сторонами, а также такие, которые получаются из пере­численных выше удвоением числа сторон: правильные шестиугольники, десятиугольники, двенадцатиугольни­ки, и т. д. И с тех пор ничего принципиально нового в этой области до Гаусса сделано не было. В 1796 г. Гаусс доказал, что если П есть простое число вида +1, то правильный П-угольник можно построить с помощью только циркуля и линейки. В частности, при K = 2 по­лучается П = 17, при K = 3 — простое число 257.

Гаусс прекрасно знал классические языки и в моло­дости колебался, чем ему заняться — математикой или филологией. Вместе с известным физиком Вебером они изобрели электромагнитный телеграф. Гаусс знал о су­ществовании неевклидовой геометрии еще до того, как познакомился с работой Лобачевского. Гаусс вел днев­ник, из которого (после его смерти) узнали, что он от­крыл в математике гораздо больше, чем опубликовал.

Гаусс был очень замкнутым человеком. Всю свою жизнь он проработал в Геттингенском университете (в том самом, в котором учился) в качестве профессора и директора астрономической обсерватории.

Николая Ивановича Лобачевского (1792-1856) анг­лийский математик Клиффорд назвал «Коперником геометрии». Действительно, открытие Лобачевским не­евклидовой геометрии совершило такую же революцию в науке и человеческом сознании как и открытие Нико­лаем Коперником (1473-1543) гелиоцентрической сис­темы мира.

С древних времен люди полагали, что Земля являет­ся центром мироздания, и что около Земли вращаются и Солнце и все другие планеты. Коперник был первым из ученых, кто смелостью своего гения разрушил эту при­вычную схему. Лобачевский же был первым из людей, кто преодолел стереотип «евклидова мышления», по­нял, что существуют другие геометрии, и сумел дока­зать это. С философской точки зрения оба великих от­крытия — Коперника и Лобачевского — ознаменовали вступление человечества в новую эпоху, когда всеобщее признание начала получать идея единства мира.

Лобачевский родился в 1792 г. в Нижнем Новгороде. Его происхождение до сих пор является загадкой для историков, но точно известно, что в 1802 г. он поступил в Казанскую гимназию, а через пять лет — в только что открытый Казанский университет.

В это время туда приехали профессора из-за грани­цы, в том числе и Бартельс, с которым начинал изучать математику молодой Гаусс! Бартельс вскоре заметил необыкновенные математические способности Лобачевского и стал его научным руководителем. Благодаря своему наставнику, живой и необычайно изобретатель­ный по части различных проказ Лобачевский успешно закончил университет и остался в нем преподавать. С 1816 г. Лобачевский уже профессор, а с 1820 — декан физико-математического факультета.

Одаренность Лобачевского проявилась не только в математике. Он занимался механикой, физикой, астро­номией, много времени уделял воспитанию юношества. Лобачевский был талантливым педагогом. В его речи «О важнейших предметах воспитания», произнесенной в 1828 г. (через год после вступления в должность ректора Казанского университета), есть такие слова: «Жить — значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы жи­вем... Будем же дорожить жизнью, пока она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории, истинные понятия о чести, любовь к отечеству, пробужденная в юных летах, дадут заранее то благородное направление страстям и ту силу, которая дозволяет нам торжество­вать над ужасом смерти».

Сам Лобачевский твердо придерживался тех прин­ципов, которые проповедовал. Его честность и прямота, исключительно добросовестное отношение ко всему, за что бы он ни взялся, снискали ему абсолютный автори­тет среди преподавателей и студентов. За 20 лет руко­водства университетом, Лобачевский сделал для него необычайно много. И сейчас геометрическая школа Ка­занского университета является одной из самых извест­ных у нас в стране и за рубежом.

Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862) был одним из крупнейших русских математиков XIX в. В отличие от Лобачевского, работы которого не получи­ли признания при жизни их автора, имя Остроградского было хорошо известно не только в России. Он был из­бран академиком Российской, Американской, Римской и Туринской академий, членом-корреспондентом Парижской Академии наук. С десяти лет он мечтал стать военным, и только случайно попал в Харьковский уни­верситет. Математический талант Остроградского обна­ружился уже на втором курсе, а на третьем он блестяще сдал экстерном выпускные экзамены. Однако и тогда в университетах были влиятельные люди, для которых всякий талантливый и независимый человек — бельмо в глазу. Они сумели лишить Остроградского диплома, об­винив его в вольнодумстве. С 1822 по 1828 г. Остроградский учился в Париже, слушая лекции самых извест­ных ученых: Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона, Фурье. Вернувшись в Россию, он начал преподавать в Главном педагогическом институте (Петербург) и уже в 1830 г. получил звание академика.

Остроградский получил выдающиеся результаты в математике и механике; занимался баллистикой, теори­ей вероятностей, различными задачами математической физики: распространением волн на поверхности жидко­сти, распространением тепла, теорией удара, уравнени­ями движения упругого тела. Каждому математику и физику известна полученная им важнейшая формула кратного интегрирования, с помощью которой N-крат­ный интеграл сводится к (N – 1)-кратному.

Выдающийся математик и блестящий лектор, Остро­градский оказал огромное влияние на развитие матема­тической школы в России, на преподавание математики в российских университетах.

Эварист Галуа (1811-1832) — самая романтическая и самая трагическая личность в истории математики. Он погиб на дуэли, когда ему был 21 год, и по преда­нию, свое главное открытие сделал в последнюю ночь перед этим роковым событием. Он открыл то, что сейчас называют теорией групп. Из его результатов следовало, в частности, решение одной из самых важных матема­тических проблем, а именно, доказательство того, что не существует общей формулы для решения уравнений выше четвертой степени. Теперь этот раздел математики так и называют: теория Галуа.

Жизнь не баловала Эвариста: он дважды не мог по­ступить в Политехническую школу, был уволен из Нор­мальной школы,* после участия в революции 1830 г. несколько месяцев просидел в тюрьме. Статьи, послан­ные им в журнал, пропали и не были опубликованы. Он зарабатывал преподаванием математики и, естественно, жил весьма скромно.

* Известные высшие учебные заведения во Франции.

О его, замечательных открытиях математический мир узнал лишь в 1846 г., когда впервые была опубли­кована одна из его работ. Теперь во всех учебниках Га­луа вполне заслуженно называют гением, звездой пер­вой величины. Как жаль, что он жил так недолго!

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) был веду­щим математиком России во второй половине девятнад­цатого столетия. Он родился в селе Окатове Калужской губернии. В 1841 г. окончил Московский университет и затем преподавал в нем до 1849 г. С этого времени и до конца своей жизни Чебышев работал в Петербургском университете. Пафнутий Львович Чебышев принадле­жал к тому замечательному типу ученых, которые не отдают всю свою жизнь какой-нибудь одной проблеме, а оставляют яркий след в различных областях науки. Че­бышев получил выдающиеся результаты в теории веро­ятностей, создал теорию наилучшего приближения функ­ций многочленами, а о его гениальных выводах в задаче распределения простых чисел один математик того вре­мени сказал, что дальнейшее продвижение в этом воп­росе сможет получить тот, кто умнее Чебышева во столько раз, во сколько сам Чебышев умнее обыкновен­ного человека.

Чебышев известен как непревзойденный конструк­тор различных механизмов; их он сделал более сорока и около восьмидесяти усовершенствовал. Он первый изоб­рел арифмометр непрерывного действия; впервые, после изобретения Уаттом кривошипно-шатунного механизма, преобразующего в паровой машине вращательное дви­жение в поступательное, Чебышев показал, как усовершенствовать этот механизм.

Работа Чебышева «О кройке платьев» до сих пор яв­ляется образцом практического применения геометрии. А в работе «О построении географических карт» он пол­ностью решает задачу о построении карты данной стра­ны с наименьшим искажением масштаба, и находит, что карту европейской части России можно сделать с искажением не более 2%, а не 4-5%, как делалось в то время.

Чебышев был избран членом двух самых престиж­ных академий — Российской и Парижской. Он оставил после себя многочисленных учеников, многие из кото­рых стали выдающимися математиками и принесли славу Российской науке.

Феликс Клейн (1849-1925) известен прежде всего как автор так называемой «Эрлангенской програм­мы» — лекции, которую он произнес при вступлении в должность профессора Эрлангенского университета в 1872 г. Клейн одним из первых понял, какое важное значение для всей математики имеет теория групп, ко­торая тогда только начала развиваться. Он понял, что группы возникают во многих областях математики, и это, с одной стороны, дает возможность сравнивать раз­личные области математики между собой, а с другой стороны — объединяет их в одно целое, в единую мате­матику.

Основная идея Эрлангенской программы Клейна со­стоит в том, что группы можно применить для классифи­кации различных геометрий. Например, евклидова гео­метрия, как известно, изучает свойства фигур, сохраня­ющиеся при движениях. Все движения образуют группу относительно операции композиции. Поэтому евклидову геометрию (на плоскости) можно описать так: на плоско­сти действует группа движений, а те свойства фигур, ко­торые сохраняются при всех этих движениях, и состав­ляют предмет изучения евклидовой геометрии. Если в этом определении заменить группу движений на какую-либо другую группу, то получим и другую геометрию. Так получаются все классические геометрии — евклидо­ва, аффинная, проективная, геометрия Лобачевского и другие. Таким образом, каждая геометрия порождает свою группу, а каждая группа — свою геометрию.

Клейн применил группы и в других разделах мате­матики, в частности, в теории дифференциальных урав­нений. Объединяющая роль теории групп в математике сказалась и на мировом математическом сообществе. В Геттингенский университет в то время съезжались ученые всех стран, он стал ведущим центром математи­ческих исследований. Блестящие и богатые идеями лек­ции Клейна пользовались большой популярностью, их размножали на стеклографе и они распространялись по всем университетам мира.

Анри Пуанкаре (1854-1912) считается величайшим математиком второй половины XIX в. Его научное на­следие составляют более чем 500 книг и научных ста­тей, посвященных различным разделам математики, теоретической физике, небесной механике, философии науки. Он разработал новые методы практически во всех разделах математики. Никто из современников Пу­анкаре не мог так глубоко проникнуть в столь большое количество областей науки. Благодаря его гению воз­никли новые математические дисциплины. Его работос­пособность была фантастической. Каждый год он читал лекции по новому предмету, писал популярные книги по математике, которые имели огромный успех и были переведены на многие языки.*

* На русском языке см.: Пуанкаре А. О науке. М., 1983.

Родился Пуанкаре в городе Нанси, его отец был профессором медицины. Еще будучи учеником лицея, Анри занимает первое место на математических конкур­сах в 1872 и 1873 гг. Окончив Политехническую шко­лу — наиболее престижное высшее учебное заведение во Франции и горный институт, он начинает преподавать сначала в Кане, затем в Парижском университете. Анри Пуанкаре был членом более чем 35 академий мира, о нем написано много книг. Его научное наследие, идеи и открытые им математические методы до сих пор пред­ставляют колоссальную ценность для науки.

Давид Гильберт (1862-1943) был вторым, наряду с Пуанкаре, величайшим математиком девятнадцатого — двадцатого века. Как и Пуанкаре, он оставил яркий след во многих областях математики, решил ряд слож­нейших задач. В своей знаменитой книге «Основания геометрии» он проанализировал систему аксиом евкли­довой геометрии и по существу впервые сформулировал требования, которым должна удовлетворять любая ак­сиоматическая система. Можно сказать, что с этой кни­ги началась новая наука, которая теперь называется «Основания математики» и играет важную роль. В 1900 г. на Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал 23 задачи (так называемые Проблемы Гильберта), которые считал наиболее важ­ными для математики будущего. Некоторые из этих проблем уже решены, в том числе и российскими мате­матиками.

Большую часть своей жизни Гильберт преподавал в Геттингенском университете, который благодаря его ге­нию и педагогическому мастерству стал одним из веду­щих математических центров мира. Одна из книг Гиль­берта «Наглядная геометрия», написанная им в соавтор­стве с С. Фон-Коссеном, до сих пор является одним из лучших учебников по геометрии.

Альберт Эйнштейн (1879-1955), самый знаменитый ученый XX в., родился в г. Ульме (Германия). Окончив политехникум в Цюрихе, он сначала работал учителем, затем служащим федерального патентного бюро в Берне. Начиная с 1911 г., Эйнштейн преподает в Цюрихском, Пражском и Берлинском университетах, а после 1932 г., вследствие усиления фашизма в Германии, он был вы­нужден переехать в Принстон (США).

Главной заслугой Эйнштейна является, как извест­но, открытие Специальной и общей теории относитель­ности, которая изменила взгляды ученых на простран­ство, время и тяготение, помогла создать общую карти - • ну физического мира, существенно продвинула вперед науку, прежде всего — физику.

Энштейн получил выдающиеся результаты в различ­ных разделах физики. За работы в области теоретиче­ской физики и открытие фотоэффекта ему присудили в 1921 г. Нобелевскую премию. Он создал квантовую тео­рию света, внес существенный вклад в теорию броунов­ского движения и т. д.

Работы Эйнштейна имеют и глубокое философское значение. Осмысление в целом той картины мира, кото­рую дает нам теория относительности, продолжается до сих пор.

Энштейн был выдающимся пацифистом, активным участником антифашисткого движения.

Норберт Винер (1894-1964) — американский уче­ный, «отец кибернетики», один из самых известных ма­тематиков нашего века. Исследуя аналогии между про­цессами, происходящими, с одной стороны, в электри­ческих и электронных системах, а с другой — в живых организмах, он создал новую науку —науку об управ­лении, которую назвал кибернетикой (1948). Широко известны его книги «Бывший вундеркинд», «Я — мате­матик», «Кибернетика и общество». Он знал 10 языков, но его отец (выходец из России) знал их 30!

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1990) — вы­дающийся советский математик, внесший весомый вклад во многие разделы математики, в особенности, в теорию функций и теорию вероятностей. Им написано 230 научных работ, значительная часть которых носит прикладной характер (теория стрельбы, статистические методы контроля массовой продукции, теория передачи информации по каналам связи и т. д.) В 32 года Колмо­горов стал доктором физико-математических наук, в 36 лет — академиком. Его заслуги в математике неоднок­ратно отмечались международными премиями, он на­гражден семью орденами Ленина, орденом Красного Знамени и медалями. У Колмогорова было много учени­ков, ставших впоследствии известными математиками. Он активно участвовал в совершенствовании школьного образования в стране, является автором замечательных учебников по математике.

< Предыдущая		Следующая >