4.2. Классическое определение вероятности

В мире случайных явлений, хотя они и случайные, имеются закономерности, которые изучают с помощью понятия Вероятности. Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступ­ления некоторого случайного события. Исторически сло­жились различные подходы к определению вероятности. Классическое определение вероятности сформировалось в XVII в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии Равновозможности событий. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим. Например, появление орла или решки при одном подбрасывании монеты счи­тают равновозможными событиями; случайный выбор какой-либо карты из колоды — тоже.

Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Каждый исход, при котором осу­ществляется событие А, называется Благоприятным со­бытию А.

Пусть, например, событие А состоит в выпадении четного числа очков при одном бросании игральной кос­ти. Из шести равновозможных исходов (от одного до шести очков) три исхода (2, 4, 6) являются благоприят­ными событию А.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.

Например, вероятность появления четного числа очков при одном бросании игральной кости равна 1/2, т. к. число всех исходов 6, а число исходов, благоприятных событию А — три.

Вероятность события А обозначают Р(А); число исходов, благоприятных событию А, через Т(А); число всех исходов — через П. Тогда по определению

.

Задачи

1. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов. Каждый исход означает выбор одного шара. Пусть событие А означает выбор красного шара. Число исходов, благоприятных событию А, равно 10. Итак, Т(А) = 10, П = 18 и

.

2. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и решка и орел.

Решение. Обозначим событие, состоящее в выпаде­нии орла, буквой О, решки — буквой Р. Испытанием здесь является двукратное подбрасывание монеты. Всего может быть 4 исхода: OO, РР, ОР, РО, поэтому П = 4. Событие А, состоящее в выпадении и орла и решки име­ет два благоприятных исхода: РО и ОР. Следовательно, Т(А) = 2, П = 4 и Р(А) = .

3. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Их них 15 выигрывают по 50 000 руб., 25 — по 10 000 руб., 60 — по 5000 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000 руб.?

Решение. Испытание состоит в выборе наугад одного билета из 1000. Поэтому число всех равновозможных исходов равно П = 1000. Пусть событие А состоит в том, что участник лотереи приобрел билет, который выигры­вает либо 5000, либо 10 000 рублей. Число всех таких билетов равно Т(А) = 40. Поэтому

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

I. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

II. Вероятность достоверного события равна еди­нице.

III. Вероятность невозможного события равна нулю.

Первое свойство следует из того, что число благоприятных исходов составляет часть от числа всех воз­можных исходов.

Второе свойство вытекает из того, что достоверное событие происходит при всяком испытании.

Третье свойство вытекает из того, что невозможное событие не имеет благоприятных исходов.

При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях ис­пользуются комбинаторные формулы, которые мы об­суждали в предыдущей главе.

Задачи

1. Найти вероятность того, что четырехзначный но­мер случайно встреченного автомобиля состоит из оди­наковых цифр.

Решение. Каждая цифра номера может быть одной из десяти: 0, 1, 2, ..., 9. Испытанием является выбор какой-либо четверки цифр. Количество всех возможных номеров, т. е. число всех исходов, равно 10 • 10 • 10 • 10 = 10 000 (см. гл. III). Пусть событие А состоит в том, что все цифры выбранного номера одинаковы. Благоприят­ных исходов будет 10: 0000, 1111, ..., 9999. Итак, П = 10 000, Т(А) = 10 и Р(А) = = 0,001.

2. Во время процедуры опознания двух подозреваемых посадили на скамью вместе с восемью другими ли­цами. Какова вероятность того, что на скамье между подозреваемыми оказалось ровно 3 человека?

Решение. Занумеруем места на скамье в естественном порядке: 1, 2, ..., 10.

Тогда любое расположение двух подозреваемых описывается парой чисел, причем пары (а,B) и (B, а) счита­ются различными. Таким образом, испытанием будет выбор упорядоченной пары чисел и число всевозможных исходов равно числу размещений из десяти по два, т. е. = 10 • 9 = 90 (см. гл. III). Событие А состоит в том, что разность между числами пары равна 4 или –4 (это и означает, что между подозреваемыми находится 3 чело­века). Перечислим все исходы, благоприятные событию А: (1,5), (5,1), (2,6), (6,2), (3,7), (7,3), (4,8), (8,4), (5,9), (9,5), (6,10), (10,6).

Всего, как мы видим, получилось 12 пар. Поэтому

6. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. По­ложительная оценка ставится в том случае, если студент правильно ответил хотя бы на один вопрос. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?

Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе двух из тридцати вопросов. Исходом испытания является пара вопросов. Поскольку порядок, в котором выбирают­ся вопросы, несуществен, то число всех П исходов равно числу сочетаний из тридцати по два. Согласно формуле (6) из гл. III, П = = 435. Пусть событие А состоит в том, что студент знает хотя бы один вопрос из двух выбранных. Благоприятные событию А исходы разделим на две группы. В первую включим пары с одним извест­ным студенту вопросом, во вторую — пары с двумя извест­ными ему вопросами. Пары первого типа составляются так: один вопрос выбирается из двадцати знакомых, дру­гой — из десяти незнакомых. По правилу умножения число таких пар равно 20 • 10 = 200. Пары второго типа получаются выбором двух из двадцати знакомых вопросов.

Их число равно = 190. Следовательно, число всех благоприятных исходов будет 200 + 190 = 390 и

Р(А) = = 0,8965...» 0,9.

7. Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1, 3, 7, 9, но не знает, в каком порядке их набирать.

1) Какова вероятность того, что первые две цифры он набрал верно?

2) Какова вероятность, что преступник откроет сейф с первой попытки?

Решение.

1) Исходом будем считать упорядоченную пару первых цифр шифра. Число таких пар равно числу разме­щений из четырех по два, т. е. 4 • 3 = 12. Так как в этом случае только один исход является благоприятным, то искомая вероятность равна 1/12.

2) Исходом испытания является какая-либо перестановка из цифр 1, 3, 7, 9. Согласно формуле (4) из гл. III, число всех исходов равно 4! = 24. Так как только один исход является благоприятным, то вероятность открыть сейф с первой попытки равна .

УПРАЖНЕНИЯ

1. Игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 11? 7? 8?

2. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только одна бракованная.

3. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероят­ность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши?

4. Для включения в избирательный бюллетень нуж­но выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас канди­дат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?

5. Из цифр 3, 5, 9 составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на три?

< Предыдущая		Следующая >