26. Комплексные числа

Множество R действительных чисел ограничено тем, что квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел. Это создает большие неудобства при решении, например, алгебраических уравнений. Поэтому поле действительных чисел было расширено добавлением нового элемента Который называется мнимой единицей. Мнимая единица не является действительным числом, но на нее распространили все алгебраические свойства действительных чисел. В результате появились новые элементы, которые записывают в виде И называют комплексными числами. Если То комплексное число является действительным. Поэтому действительные числа составляют часть комплексных чисел. По определению Комплексные числа можно складывать и умножать:

Для каждого комплексного числа можно найти обратное:

Операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются аксиомам (1), поэтому комплексное число образует поле. Открытие комплексных чисел позволило решить проблему алгебраических уравнений. Главный результат сформулирован в основной теореме алгебры:

Всякое алгебраическое уравнение степени N с комплексными коэффициентами имеет ровно N комплексных корней. (Гаусс).

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер открыли формулу

Из которой при следует что связывает мнимую единицу с числами и

Каждое комплексное число геометрически представлено на плоскости точкой с координатами

< Предыдущая		Следующая >