35. Критерий знаков для одной выборки

На изложенном выше способе проверки статистических гипотез в схеме Бернулли основан широко распространенный Критерий знаков. Для его применения достаточны очень слабые предположения о закону распределения данных, такие как независимость наблюдений и однозначная определенность медианы. Напомним, что медианой распределения случайной величины X называется такое число Q, для которого .

Предположим, что в результате многочисленных измерений Артериального кровяного давления у пациентов некой поликлиники Было Установлено его медианное значение Q. Эти измерения возобновилисЬ После летних отпусков. У первых N пациентов были зарегистрированО Значения давления крови . Можно ли считать, что медианныЙ Уровень давления понизился после летнего отдыха?

Как обычно, проще проверить гипотезу о том, что значение Медианы Q не изменилось. При этом надо рассматривать только односторонние альтернативы — в данном случае, левосторонние (как будет описано ниже). Если гипотеза будет отвергнута, это будет означать положительный ответ на поставленный выше вопрос.

Проверка этой гипотезы с помощью критерия знаков проводится следующим образом. Рассмотрим случайную величину . Так как, согласно гипотезе, , то . В выборке , подсчитаем число положительных разностей и обозначим его через S. Для формализации этого алгоритма удобно ввести функцию

Тогда . Случайная величина принимает два значения: 0 и 1. Согласно выдвинутой гипотезе, вероятность каждого из этих значений равна 1/2. Таким образом, видно, что задача сводится к схеме испытаний Бернулли, в которой через S обозначено число «успехов», и следует проверить гипотезу . В нашем примере надо рассматривать левосторонние альтернативы, но вообще альтернативы могут быть как односторонними, так и двусторонними, в зависимости от решаемой задачи.

Отметим важное обстоятельство в приведенном примере. Гипотеза о значении медианы случайной величины, выдвинутая нами первоначально, не определяла однозначно закон распределения X, и тем самым не позволяла вычислить вероятность произвольных значений X. В связи с этим мы были вынуждены перейти к случайной величине , которая задает только знак разности . При этом вероятностное распределение определяется уже однозначно. Изложенный критерий получил название Критерия знаков, так как он работает фактически только со знаками преобразованных некоторым образом случайных величин. Этот критерий хорош именно тем, что требует очень немногого от функции распределения случайной величины и очень прост в применении.

< Предыдущая		Следующая >