25. Линейная корреляция

Этот вид корреляционной зависимости весьма важен, так как очень многие корреляционные связи, характерные для количественных признаков наблюдаемых однородных фактов, близки к линейным. Данные наблюдения, представленные в виде корреляционной таблицы, и найденные из этой таблицы пары соответственных значений Х и или У и , используются для отыскания параметров уравнений прямых регрессии

и .

Эта операция, называемая Выравниванием, обычно выполняется по способу наименьших квадратов, сущность которого состоит в таком подборе параметров линии регресси, при котором достигается минимум .

Разберем применение данного способа в общем виде для каждого из записанных уравнений регрессии. При этом для иллюстрации используем данные корреляционной таблицы 1 распределения растений житняка по общему весу и по весу семян.

1. УравнеНИе прямой регрессии У по х. При отыскании по способу наименьших квадратов параметров линейной функции У=ах+B На основании данных наблюдения о парах значений Х и У, связанных однозначным соответствием, используется система нормальных уравнений

Здесь коэффициенты определяются простым суммированием слагаемых в соответствии с количеством пар значений Х и У.

Если же требуется с помощью способа наименьших квадратов определить параметры уравнения, связывающего значения Х с соответственными частными средними , по данным не простой, а корреляционной таблицы, то структура коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений должна отразить все данные корреляционной таблицы.

А) Коэффициенты, соответствующие суммам и , должны включать в операцию суммирования все значения Х как повторяющиеся, так и неповторяющиеся. Количество значений определяется числом , поэтому сумма этих значений Х равна . Аналогично сумма значений равна и т. Д. Отсюда сумма всех значений Х выразится в виде

Суммирование квадратов переменной Х строится также и дает

Б) Свободный член, сооТВеТСтвуЮщИй сумме , должен представить сумму всех частных средних . При этом для каждого значения Х количество соответственных частных средних определяется количеством таких значений самого Х. Поэтому значению соответствует , частных средних , значенИЮ Соответствует частных средних и т. д. Сумма всех частных средних Имеет вид

.

В) Свободный член, соответствующий сумме , должен представить сумму всех воЗМожных произведений значений Х на соответствующие частные срЕДние . КоличестВО разных произведений здесь определяется количеством соответственных значений Х. Поэтому сумма всех произведений вида имеет вид

.

Удовлетворяющая указанным требованиям система нормальных уравнений для отыскания значений параметров уравнения прямой регрессии имеет следующий вид:

Определение корней этой системы предварительно требует некоторого преобразования коэффициентов и свободных членов.

Коэффициенты системы преобразуются так:

Развернутая запись свободного члена позволяет для каждого слагаемого воспользоваться переходом от частных средних к соответственным частным значениям У.

В самом деле, если , то

.

Поэтому

И аналогично

Почленное сложЕНие всех равеНСтв дает в СОответствии с ПРинятой структурой корреляционной таблицы 2

После приведения этого результата к выражению, Содержащему среднее значение У, получится

.

Преобразование свободного члена выполняется Аналогично. Здесь При слагаемое приводится к виду

Последующая запись всех остальных слагаемых такого же вИДа при , и суммирование соответствующих выражений дает реЗУльтаТ

Сохраняя эту запись для выполнения подсчетов, можно привести полученный результат к выражению со средним значением Ху.

Двойной знак суммирования позволяет выполнять суммирование в любом порядке: сНАчала по горизонтали (меняя нумерацию частных значений У), а ЗАтем по вертикали (меняя нумерацию частных значений Х), или, наоборот, сначала по вертикали, а затем по горизонтали.

По структуре корреляционной таблицы:

Или

Отсюда

Так как

В преобразованном виде система такова:

Или

Для определения параметра A достаточно после умножения членов второго уравнения на почленно вычесть это уравнение из первого: , или

Параметр B определяется непосредственно из второго уРАвНенИя:

.

Подставляя полученное выражение в уравнение прямой регрессии Y по Х, т. Е. , получим

,

Или .

КоэффИЦиент А в уравнении прямой регрессии называется КоЭФфициентом прямой регрессии у по х И обозначается символом .

Таким образом,

И окончательная запись уравнения прямой регрессии Y по X таково:

.

Составим такое уравнение с числовыми параметрами для распределения растений житняка по данным корреляционной таблицы 1 об общем весе (X) и весе семян (Y) растений. Вычисление необходимых параметров можно проводить по нижеследующей системе поДСчетов, соответствующей выполненному общему решению.

1) Составляем вспомогательную таблицу.

2) По данным табл. 4

3) Определяем коэффициент регрессии У по Х:

4) Записываем уравнение прямой регрессии У по X:

,

Или окончательно

2. Уравнение прямой регрессии Х по У. Система нормальных уравнений для отыскания параметров С и D уравнения прямой регрессии Х по У, получаемая в результате применения способа наименьших квадратов, имеет вид

По аналогии с преобразованиями, проведенными для случая регрессии У по Х, можно записать, что

Нормальные уравнения можно переписать в упрощенном вИДе:

Или

Для определения параметра С из членов первого уравнЕнИя вЫЧитаются члены второго уравнения, умноженные на :

,

Или

Параметр D определяется непосредственно из второго уравнения:

.

Замена D этим выражением в уравнении прямой регрессии дает

Или .

Коэффициент С в этом уравнении называют Коэффициентом прямой Регрессии х по у И обозначают символом .

Таким образом,

И окончательная запись уравнения прямой регрессии Х по У такова:

.

Заметим, что обе прямые регрессии, как видно из их уравнений, проходят через точку .

На примере распределения растений житняка по данным корреляционной таблицы о весе семян (У) и общем весе (Х) растений составим уравнение прямой регрессии Х по У с числовыми параметрами. Все необходимые вычисления для подсчета параметров проводятся в таком же порядке, как это выполнено для уравнения прямой регрессии У по Х.

1) Составляем вспомогательную таблицу.

2) По данным табл. 5

3) Определяем коэффициент регрессии Х по У:

4) Записываем уравнение прямой регрессии Х по Y:

,

Или окончательно

Ниже будет показано, что оба уравнения прямых регрессии могут быть получены одним расчетом с помощью коэффициента корреляции.

< Предыдущая		Следующая >