24. Офицерское каре

Однажды каждый из четырех полков КОмандировал на ПаРад по 4 офицера, Имеющих звания лейтенанта, Старшего лейтенанта, капитана и майора. Можно ли построить этих офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждой Шеренге и каждой колонне были представители всех 4 ПолКов и всех 4 воинских званий.

Попробуем сначала удовлетворить условию, Касающемуся полков. Если обозначить эти полки прописными латинскими буквами А, В, С, D, то одно из возможных расположений офицеров имеет вид

В эту таблицу латинские буквы А, В, С, D входят по ОдНому разу в каждый столбец и каждую строку. Kвадраты С П строками и П столбцами, составленные из П бУКв обладаЮЩие указанНЫм свойством, называют Латинскими квадратами (причиной такого странного названия явилось то обстоятельство, что Эйлер, впервые рассматривавший эти квадраты, составлял их из латиНСких букв). Обозначим тЕПерь 4 воиНСких звания строчными Латинскими Буквами А, B, с, D. По услоВИю задачи эти буквы тоже ДОлжны образовывать латиНСкий квадрат. Однако этот КВАдрат не может быть произвольным — если задать и пол и зваНИе, то найдется одиН офицер данного полка с Данным зваНИем, командированный на парад. Поэтому оба латинских квадрата должны наложиться друг на Друга Так, чтобы каждая пара из букв А, В, С, D и А, B, с, D Встретилась после наложенИЯ лИШь один раз (такие два латинСких квадрата называют Ортогональными ДРуг другу).

Это МОжно сделать так:

Здесь не тоЛЬко пo горизонталям и вертикалям, но и обеим главным диагоналям буквы А, В, С, D, а, B, C, D встречаются лишь по одному разу.

Несколько больше смекалки требуется, чтобы Разместить аналогичным образом офицеров из пятИ полков, и Имеющих по пять различных воинских ЗВаний. ОдНО из Решений имеет вид

ОдНАко предпринятая Эйлером попытка построить паРу ортогональНЫх квадратов шестого порядка не увенчалась успехом. Все комбинации, которые он придумывал, не удовлетворяли НУжным условиям. Поэтому Эйлер предпоЛожИл, что задача просто неразрешима. Эта гипотеза была подтверждена в 1901 г. французским математикоМ Тарри, перебравшим все возможные расположения КвадРатов.

Но Эйлер, основываясь на неразрешимости задачи для N = 2 и П = 6, сделал предположеНИе, что она НеразреШимА для всех чисел вида (при остальных знаниях П задача разрешима). Попытки доказать или опровергнуть гипотезу Эйлера были безуспешны до 1960 г., несмотря на привлечение электронных вычислительных мАшин (в те годы их быстродействие было еще недостаточнЫМ). Применяя методы теории чисел, работавшие в США МАТЕматикИ Бозе, Паркер и Шриканда построили первый пример двух ортогональных латиНСких квадратов сначаЛА для N = 10, а затем и для всех чисел вида (разумеется, кроме чисел 2 и 6). С помощью новейших МоДелей электронных вычислительных машиН были найдеНЫ МнОгие такие квадраты.

< Предыдущая		Следующая >