07. Комбинаторика в Древней Греции

Говорить с полной уверенностью об уровНЕ зНАНИй древних греков в области комбинаторики затруднительно, поскольку до нас дошло далеко не все из их научного наследия. В 391 г. Н. Э. толпа монахов разрушила центр языческой науки — александрийский Музеум — и сожгла больШУю часть хранившейся в нем библИОтеки, насчитывавшей многие тысячи томов. Остатки библиотеки разрушались в течеНИе еще трех веков, а в 638 г. н. э. она окончательно погибла при взятии Александрии войсками арабского халифа Омара. Большинство научных книг безвозвратно ПОгибло, и мы можем лишь догадываться об их содержании по кратким пересказам и намекам в сохраНИвшихся рукописях.

По этим намекам можно все же судить, что оПРеделеННые представления о комбинаторике у греческих ученыХ Были. Философ Ксенократ, живший в IV в. до н. э., Подсчитывал число слогов. В III в. до н. э. стоик Хрисипп полагал, что число утверждений, получаемых из 10 аксиом, превышает миллион. По мнению же Гиппарха, Из утверждающих аксиом можНО составить 103049 сочетаНИй, а добавив к ним отрицающие, — 310952. Мы не знаем, какой именно смысл придавали эти философы своим утверждениям и как они получали свои результаты — прИВодИМые Гиппархом числа слишком точны, чтобы считать их результатом грубой оценки, и в то же время НЕ поддаются разумНОму истолкованию. По-видимому, у греческих учеНЫх были какие-то не дошедшие до нас правила комбинаторных расчетов, скорее всего ложные.

Конкретные комбИнАторные задачИ, касавшиеся перечисленИЯ НЕбольших групп предметов, греки решали без ошибок. Аристотель описал без пропусков все виды ПРавилЬНых трехчленНЫх силлогизмов, а его ученик Аристоксен из Тарента перечислил различные комбинации длинНЫх и коротких слогов в стихотворных размерах. Живший в IV в. н. э. математик Папп рассматривал число пар и троек, которые можно получить пз трех элементов, допуская их повторения.

Большое внимание греческие ученые уделяли вопросам, пограничным между комбинаторикой и теорией чисел. Еще в VI в. до н. э. в школе философа-идеалиста и математика Пифагора возникло убеждение, что МИром правят ЧИсла, а вещи только отражение чисел (возможно, что эти идеи возникли у Пифагора под влиянием вавилонской культуры и восходят к еще более древним взглядам шумеров). Поэтому, чтобы познать мир, пифагорейцы начали изучать свойства натуральных чисел. Их исследования о четных и нечетных числах, делимости чисел, простых и составных числах положили основу теории чисел (в науке бывает, что неверные исходные установки дают толчок к полезным исследоваНИям). Как и китайцы, пифагорейцы придавали особое ЗНачение числу 36 — оно было для НИх не только суммой первых 4 четных и первых 4 нечетных чисел, но и суммой первых трех кубов: . Символом совершенства пифагорейцы считали Совершенные числа, равные сумме своих делителей, например, а символом дружбы — Дружественные числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа (например, 220 и 284). Отыскание таких чисел требовало комбинаторного искусства.

В школе Пифагора была доказана известная теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Это вызвало интерес к представлению чисел в виде суммы двух квадратов, к квадратным числам 1, 4, 9, 16 и т. д. Квадраты натуральных чисел изображались при этом геометрически (рис. 1). Но пифагорейцы рассматривали и иные конфигурации точек, такие, как изображенные на рис. 2 и 3. Каждый треугольник на рис. 2 получается ИЗ ПредыдуЩего Увеличением длины его стороны на 1. Подсчитывая число точек в каждом треугольнике, получаем ПОследовательность треугольных чисел 1, 3, 6, 10 ... Эти числа можно получить, последовательно складывая натуральные числа: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 и т. Д. Точно так же шестиугольники на рис. 3 приводят к последовательности шестиугольных чисел 1, 6, 15... получаемой при последовательном суммироваНИи арИФметической прогрессии 1+5+9+… В дальнейшем такие суммы удалось выразить с помощью биномиальных коэффициентов , играющих важную роль в комбинаторике.

Переход от плоскости к пространству дал возможность строить еще более сложные числа. Например, из треугольников можно составить пирамиды. Подсчитывая число точек в таких пирамидах, пришли к пирамидальным числам 1, 4, 10, 20, ..., которые были суммами ряда 1+3+6+10+ …, составленного из треугольных чисел. Однако дальнейшие обобщеНИя требовали уже введения многомерных пространств, что лежало за рамками возможностей древнегреческой математики.

Учение о фигурных числах привлекало к себе математиков на протяжении многих столетий. Ими много занимался живший в XVII в. французский ученый Пьер Ферма, который доказал, например, что любое натуральное число есть или треугольное или сумма 2 или 3 треугольныХ чисел, квадратное или сумма 2, 3 или 4 квадратов, пятиугольное или сумма 2, 3, 4 или 5 пятиугольных и т. д. Как И Многие другие полученные им результаты, он лишь сформулировал это

Утверждение в письме к Блэзу Паскалю (юрист по основной профессии, Ферма занимался математикой лишь в часы досуга). Частные случаи этой теоремы доказали Эйлер и Лагранж, а общее доказательство было дано в 1815 г. французским математиком О. Коши.

Наряду с комбинаторикой чисел греческие ученые занимались и отдельными вопросами геометрической комбинаторики — правильными и полуправильными многогранниками, составлением фигур из 14 частей особым образом разрезанного квадрата и т. д. Последнему вопросу была посвящена работа Архимеда «Стомахион».

< Предыдущая		Следующая >