01. Становление математики и ее структура

МАТЕМАТИКА — наука о количествЕНных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что это общее определение математики наполняется все более богатым содержанием.

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Др. Греции в 6 — 5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6 — 5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Первые задачи механики и физики могли еще удовлетворяться этим же запасом основных математических понятий.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциАльного и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание «воображаемой геометрии» Лобачевского было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в математику столь важные новые черты, что математика 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Зарождение математики. Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и Обозначений простейших дробных чиСЕл и к разработке приемов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — АрифМЕтикУ. Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее астрономии вызывают развитие начатков Геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной степени независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и ГеометричЕских знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки Алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки Тригонометрии.

2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает Чисел теория. Создается систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. п. 1.2.2.) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного чисел относятся к более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого периода. Период элементарной математики заканчивается (в\Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.

3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития математики круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие Функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде Дифференциального исчисления и Интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные иЗМенения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума Некоторых связанных с ними величин), составляет предмет Вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в Которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Например, в Проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 и началу 19 вв. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. Аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и Аналитическими Методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например, при графическом изображении функциональных зависимостей.

4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математического анализа продолжалИ С большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанИЕм и техникой. Однако помимо этого количественного роста с кон. 18 и в начале 19 вв. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Таково в основном было развитие Функций комплексного переменного теории, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всем математическом анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой математики, явилась Лобачевского геометрия.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного исчислений. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках ФункционалЬНого анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых ГеометричЕских и АлгебраичЕских систем.

Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», Т. Е. КритичЕскому пересмотру ее исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Стандарт требований к логической строгости, предъявляемых к практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий, сложился только к концу 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логической строгости доказательств, строения математической теорий, вопросов алгоритмической разрешимости и неразрешимости математических проблем составляет предмет Математической логики.

В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого МатематичЕского аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро растут и математические запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория Дифференциальных уравнений обыкновенных, дифференциальных уравнений с частными производными и Математической физики уравнений.

Теория дифференциальных уравнений послужила отправным пунктом исследований по топологии многообразий. Здесь получили свое начало «комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические» методы Алгебраической топологии. Другое направление в топологии возникло на почве Множеств теории и функционального анализа и привело к систематическому построению теории общих Топологических пространств,

Существенным дополнением к методам дифферЕнЦиальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы Вероятностей теории. Если в начале 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 и в начале 20 вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата Математической статистики.

Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с 19 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория (Алгебраическая теория чисел, Аналитическая теория чисел, Диофантоеы приближения).

Центр тяжести алгебраических исследований переносится в новые области алгебры: теорию групп, полей, колец, общих алгебраических систем. На границе между алгеброй и геометрией возникает теория непрерывных групп, методы Которой позднее проникают во все новые области математики и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изученИЯ их логических и АксиоматичЕских основ. Но основными отделами Геометрии, где сосредоточиваются наиболее значительные научные силы, становятся Дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой АрифметичЕской теории иррациональных чисел и теории множеств возникла Функций действителЬНого переменного теория.

Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего ТеоретичЕского разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в конце 19 и в начале 20 вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь математики - ВычислителЬНую математику.

Отмеченные основные особенности современной математики и перечисленные основные направления исследований математики по разделам сложились в начале 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие математики в 20 в. Однако потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисЦИплин. На основе задач теории Управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возник Дискретный анализ. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными Уравнениями, привели к созданию Оптимального управления математической теории,

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

< Предыдущая		Следующая >