00. Введение

Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках. Несмотря на то что вторжение математики продолжается — и со все возрастающей интенсивностью, — удивление по этому поводу скорее даже Убывает: математическая экспансия стала привычной. Сейчас уже все смирились со словосочетаниями: «математическая биология», «Математическая лингвистика», «математическая экономика», «математическая психология»; и какую бы дисциплину ни взять, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета «математический».

Распространение математики вширь сопровождается ее проникновением вглубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества. Изменилось и традиционное представление о математиках: место Пагане-леобразных чудаков заняли в этом представлении молодые люди занимающиеся спортом. Все большее число родителей желает определить своих детей в школы с математическим уклоном; математика стала модной профессией.

Исчерпывающие причины такого стремительного (в течение последних 20-30 лет) изменения роли математики в современном мире, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, современникам этого изменения. Однако уже сейчас можно, пожалуй, сказать, что основная причина заключается не только и не столько в конкретных успехах математики за последние годы, сколько в осознании необъятных возможностей применения математики и в появлении возросших потребностей в использовании этих возможностей.

Тем не менее, повсеместное проникновение математики некоторым кажется загадочным, а некоторым — подозрительным. В самом деле, не вызывает сомнений право на всеобщее признание, скажем, физики или химии: физика открывает нам новые мощные источники энергии и новые средства быстрой связи, химия создает искусственные ткани, а сейчас покушается и на создание искусственной пищи. (Сказанное не претендует, разумеется, на какое-либо определение и тем более ограничение роли физики и химии.) Не удивительно, что эти науки, помогающие человеку в его извечных поисках силы, связи, одежды и еды, прочно и почетно вошли в нашу жизнь. А ведь математика проникла даже в науки, традиционно считающиеся гуманитарными. И хотя, например, в языкознании пользуются физическими приборами для исследования устной речи, никто не говорит о «физической лингвистике».

Так что же дает людям математика, такая теоретическая наука, которая не открывает ни новых вещей, как химия, ни новых средств движения (вещей или сигналов), как физика? И почему появление в какой-либо отрасли науки математических методов исследования или хотя бы просто математического осмысления соответствующей системы понятий и фактов всегда означает и достижение этой отраслью определенного уровня зрелости, и начало нового этапа в ее дальнейшем развитии? Наиболее распространенный в недавнем прошлом ответ состоял в том, что математика умеет хорошо вычислять и тем самым позволяет находить в нужных случаях требуемые цифровые данные. Однако при всей важности вычислительного аспекта математики — и, особенно в последние годы, ознаменованные столь бурным развитием вычислительной техники, — этот аспект оказывается и второстепенным, и вторичным при попытке объяснить причины математизации современного мира.

Любая попытка дать краткое объяснение этих причин неизбежно приведет к неполной и неточной формулировке. Если все же заранее согласиться на это, то можно сказать следующее: математика предлагает весьма общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками; действительность же так усложнилась (как за счет познания новых ее сторон, так и за счет создания человеком новых ее форм), что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей ныне не обойтись. Появление таких моделей в какой-либо отрасли науки свидетельствует о том, что система понятий этой отрасли уточнилась настолько, что может быть подвергнута строгому и абстрактному, т. е. математическому, изучению. Такое изучение в свою очередь играет решающую роль в дальнейшем уточнении понятий, а, следовательно, и в успешном их применении. Математическая модель нередко задается в виде особого «языка», предназначенного для описания тех или иных явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVII в. дифференциальное и интегральное исчисления. Важнейшим примером математического языка, описывающим количественную сторону явлений, служит «язык цифр»; вот почему упомянутый выше вычислительный аспект математики как производный от ее основного языкового аспекта мы назвали «вторичным». Замечательно, что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения; познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности.

Сказанным обусловлен и специфический характер математических открытий. Естественнонаучные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира. Математические же открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее революционные открытия дают начало новым моделям. Так, поистине революционный характер носило осознание древними бесконечности натурального ряда, а точнее, создание такого понятия натурального числа (такой модели), при котором натуральных чисел оказывалось бесконечно много (ведь представление, что числа бывают только, скажем, до миллиарда, а дальше чисел нет, вряд ли могло быть опровергнуто прямым наблюдением). Возникнув как инструмент в исследовании мира, понятие натурального числа само стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия. Поразительным достижением античной математики было, например, установление бесконечности множества простых чисел — поразительным как по постановке вопроса о бесконечности, хотя и без употребления самого слова «бесконечность», так и по безукоризненной точности формулировки ответа (как гласит двадцатое предложение IX книги Евклидовых «Начал», «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») и по неожиданной простоте доказательства. Точно так же принятая нами геометрическая картина мира неизбежно приводит к наличию несоизмеримых отрезков, потрясшему еще пифагорейцев.

Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с величайшими достижениями математической мысли прошлого века — открытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определенных возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности; она распространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа; оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.

Теория множеств дала универсальную систему понятиЙ, которая охватила все существовавшие к тому времени математические теории. Вместе с тем при дальнейшем развитии теории множеств появились существенные трудности, не преодоленные полностью до сих пор. Исследования последних лет дают основания считать, что созданная Кантором «Наивная теория множеств» описывает на самом деле не одну, а сразу несколько «теоретико-множественных моделей», так что факты, верные в одной модели, могут быть неверны в другой. Если это так (а, по-видимому, это действительно так), то «наивная» теория множеств расщепится на несколько моделей, подобно тому как основанная на непосредственных пространственных представлениях «наглядная» геометрия расщепилась в прошлом веке на евклидову и неевклидовы. Подобное расщепление моделей происходит, пожалуй, все же реже, чем обратный процесс, приводящий к возникновению на основе нескольких моделей одной обобщающей «сверхмодели»; именно так, отвлекаясь от частностей, возникают алгебраические понятия кольца, поля, группы, структуры и даже поглощающее их все понятие универсальной алгебры.

Мы видим, что «модель Кантора» оказывается недостаточно четкой, — а ведь выше говорилось именно о «достаточной четкости» как характерной черте математических моделей. Дело в том, что само понятие «достаточной четкости», конечно, не абсолютно, а исторически обусловлено. Определения, открывающие собой Евклидовы «Начала»: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же —длина без ширины» и т. д., казались, вероятно, достаточно четкими современникам Евклида (III в. дон. э.), а непреложность его системы в целом не подвергалась публичным сомнениям вплоть до 1826 г., когда Н. И. Лобачевский сделал свой первый доклад. Зато именно сомнения в этой непреложности и привели, в конечном счете, к современной (достаточно четкой на сегодняшний день) формулировке евклидовой системы геометрии.

Итак, действительное значение математической строгости не следует преувеличивать и доводить до абсурда; здравый смысл в математике не менее уместен, чем во всякой другой науке. Более того, во все времена крупные математические идеи опережали господствующие стандарты строгости. Так было с великим открытием XVII в. — созданием основ анализа бесконечно малых (т. Е. основ дифференциального и интегрального исчисления) Ньютоном и Лейбницем. Введенное ими в обиход понятие «бесконечно малой» определялось весьма туманно и казалось загадочным современникам (в том числе, по-видимому, и самим его авторам). Тем не менее оно с успехом использовалось в математике. Разработанный Ньютоном и Лейбницем символический язык не имел точной семантики (которая в удовлетворяющей нас сейчас форме была найдена лишь через полтораста лет), но даже и в таком виде позволял описывать и исследовать важнейшие явления действительности. Так было и с такими фундаментальными понятиями математики, как предел, вероятность, алгоритм, которыми пользовались, не дожидаясь их уточнения. Так обстоит дело и с «самым главным» понятием математики—понятием доказательства. «Со времен греков говорить «математика»—значит говорить «доказательство» —этими словами открывается знаменитый трактат Н. Бурбаки «Начала математики». Однако читатель заметит, что знакомое ему еще со школы понятие доказательства носит скорее психологический, чем математический характер. Доказательство (в общепринятом употреблении этого слова) — это всего лишь рассуждение, которое должно убедить нас настолько, что мы сами готовы убеждать с его помощью других. Несомненно, что уточнение этого понятия (во всей полноте его объема) — одна из важнейших задач математики.

Трудовые будни математики по необходимости состоят в получении новых теорем, открывающих новые связи между известными понятиями (хотя и теперь еще приходится слышать — правда, все реже — удивленное: «Как? Неужели еще не все открыто в этой вашей математике?»). Однако к этому математика отнюдь не сводится. Вот какие цели математического исследования считает важными А. Н. Колмогоров:

«1. Привести общие логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14 - 15 лет.

2. Уничтожить расхождение между «строгими» методами чистых математиков и «нестрогими» приемами математических рассуждений, применяемых прикладными математиками, физиками и техниками.»

Две сформулированные задачи тесно связаны между собой. По поводу второй замечу, что в отличие от времен создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления математики умеют сейчас без большого промедления подводить фундамент логически безукоризненных математических построений под любые методы расчета, родившиеся из живой физической и технической интуиции и оправдывающие себя на практике. Но фундамент этот иногда оказывается столь хитро построенным, что молодые математики, гордые пониманием его устройства, принимают фундамент за все здание. Физики же и инженеры, будучи не в силах в нем разобраться, изготовляют для себя вместо него временные шаткие подмостки» (А. Н. Колмогоров, Простоту сложному, «Известия», 31/Х11 1962 г.). Непрерывное повышение уровня математической строгости одновременно с попытками представить самые сложные построения так, чтобы они стали интуитивно наглядными, возникновение одних понятий и уточнение других, переставших удовлетворять новым требованиям, расщепление казавшихся еще недавно незыблемыми моделей и образование новых обобщающих моделей —весь этот исполненный большого внутреннего драматизма процесс характерен для математики не менее, чем доказательство теорем (без которого, впрочем, описанный процесс был бы совершенно бессодержателен, да и вообще не мог бы иметь места).

Математика подобна искусству — и не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, — это особый способ познания. Имеет, быть может, смысл по аналогии с художественными образами говорить о «математических образах» как специфической для математики форме отражения действительности.

Следующая >