6.1. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть – замкнутое, регулярное, измеряемое по Жордану множество. ;

определена при .

Пусть кроме функции F задана функция , G – интегрируемая функция на множестве D. Рассмотрим следующий интеграл: .

Определение: Пусть и пусть для каждого сходится несобственный интеграл , тогда говорят, что этот интеграл сходится поточечно на множестве A.

Определение: Пусть . Пусть для каждого можно указать такую окрестность точки , что для каждого и для каждого множества A, лежащего в пересечении и если A – измеримо по Жордану, то сходится несобственный интеграл , причем . Будем говорить, что несобственный интеграл сходится равномерно по Y в точке .

Замечание: Если несобственный интеграл Сходится равномерно по Y в точке , то можно указать такую окрестность точки , что данный несобственный интеграл сходится поточечно к .

Теорема: Пусть непрерывно зависит от X и Y при . Пусть G – интегрируемая функция по X на D. Пусть сходится равномерно по Y в точке . Обозначим . Тогда интеграл I непрерывен в точке .

Док-во: Фиксируем . Выберем окрестность точки так, что – множество, измеримое по Жордану и так, что сходится интеграл при , тогда:

1. – окрестность, измеримое по Жордану множество, а D – замкнутое, измеримое по Жордану множество.

2. непрерывно зависит от X и Y при .

3. .

Согласно теореме о непрерывной зависимости собственного кратного интеграла от параметра непрерывно зависит от . Тогда можно указать такую окрестность точки , что .

, ч. т.д.

Теорема (признак сравнения): Пусть F – непрерывная при функция, G – интегрируемая функция. Пусть . Тогда для каждого интеграл – сходится равномерно по Y в точке .

Док-во N=3 (случай трехмерный): Пусть , , , при . G – интегрируемая функция, а значит она ограниченная, следовательно, можно указать , что при . Фиксируем . Рассмотрим . Фиксируем так, чтобы множество A было множеством, интегрируемым по параметру Жордана, . Фиксируем точку Y в нашем шаре. Заметим, при . Согласно признаку сравнения для кратных несобственных интегралов при несобственный интеграл – сходится. . Заметим, что множество A гарантированно будет лежать в нашем шаре: , следовательно, получаем:

. Фиксируем и выберем , тогда при , ч. т.д.

Теорема (о дифференцировании): Пусть F – непрерывная функция при , а Y – интегрируемая функция. Пусть , а несобственный интеграл сходится поточечно на , где – некоторая окрестность точки . Пусть – непрерывна при . Пусть Сходится равномерно по Y в точке , тогда:

1. имеет при .

2. .

< Предыдущая		Следующая >