03.3. Способы образования сложных высказываний

Сложные суждения образуются из простых двумя основными способами:

1) путем квантификации высказываний;

2) объединением простых или элементарных высказываний с помощью логических связок или операторов.

Первый способ представляет собой метод получения общих суждений путем использования логических кванторов, характеризующих объем суждения. Прежде чем перейти к его обсуждению, рассмотрим понятие Функции-высказывания, которое играет важную роль в логике.

Высказывания в функции-высказывании оцениваются с точки зрения их истинностного значения, поэтому такая функция называется также Истинностной функцией. Она образуется по аналогии с математической функцией, но в отличие от последней, аргументами в ней являются не числа и другие математические объекты, а логические объекты – высказывания. В связи с этим ее называют также Пропозициональной функцией или – что менее благозвучно – Высказывательной функцией. Значениями ее аргументов и самой функции являются "истина" и "ложь". Таким образом, здесь мы имеем дело с пропозициональной функцией двузначной классической логики.

Чтобы определить понятие пропозициональной функции, рассмотрим следующие примеры:

Х – простое число;

У – металл;

Z – студент.

По форме эти выражения напоминают высказывания, но они не определяют никакого конкретного высказывания, ибо содержат переменные, значение которых остается неизвестным. Здесь напрашивается аналогия с алгебраическими функциями или формулами, которые могут выражать конкретные арифметические зависимости. Так, например, линейная функция У = Ax + в получает вполне определенное значение, если вместо постоянных и переменных подставляются конкретные числа.

Точно так же пропозициональные функции логики превращаются в конкретные высказывания, если вместо логических переменных подставляются определенные имена. Так, в первом примере, если вместо Х подставить число 3, то получится истинное высказывание "3 – простое число". Если же вместо Х подставляется число 4, то получится ложное высказывание "4 – простое число". Соответственно этому во втором примере, если вместо У Подставить "железо", то получится истинное высказывание "железо-металл". Если вместо У подставляется "фосфор", то получится ложное высказывание "фосфор – металл".

Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то получится истинное высказывание "Иванов – студент". Итак, одни значения переменных удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т. е. в первом случае они превращают их в истинные, во втором – в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными высказываниями.

Отсюда легко дать определение Пропозициональной функции, под которой мы будем понимать любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных превращают выражение в конкретное высказывание.

Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.

Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых, придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение

X + Y = Y + X

Можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных Х и У взять определенные числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные Кванторами, которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем записать его в следующей форме:

(Х)(У)(Х + У = У + Х),

Где (х) и (у) обозначают Кванторы общности, которые часто называют также Универсальными кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный (переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от перестановки слагаемых.

С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин "универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области, например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все высказывания имеют универсальный характер. Например, формула Х + у = 5 удовлетворяется только при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда Х = 1 и У = 4, или Х = 2 и У = 3, или Х = 3 и У = 2, или

Х = 4 и У = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству Х + у = 5. Вместо слов " существуют числа Х и У" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно представить в такой символической форме:

(Ех) (Еу) (Х + У = 5),

Где (Ех) и (Еу) – кванторы существования.

В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения оцениваются как истинные или ложные.

Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные высказывания.

Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.

Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.

Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.

< Предыдущая		Следующая >