§7.7. Регулярные и сингулярные обобщённые функции

Пусть функция локально интегрируемая функция.

Примеры: – локально интегрируемые, хотя и не интегрируемые на . Каждой локально интегрируемой функции соответствует обобщённая функция (т. е. функционал) , определённый равенством: . Такие обобщённые функции называются Регулярными.

Примеры: – Функция Хевисайда.

Функция порождает регулярную обобщённую функцию : .Обобщённые функции, не являющиеся регулярными, называются Сингулярными.

Пример: -функция. Она определяется в соответствие с равенством (4) из начала лекции: . Докажем, что -функция является сингулярной обобщённой функцией. Допустим противное, тогда существует локально интегрируемая функция такая, что: . Возьмём в качестве «шапочку» . Очевидно, что По нашему предположению:

С другой стороны, т. к. локально интегрируема, то она ограничено на любом отрезке, и, следовательно, при , что противоречит (5). Итак, -функция является сингулярной обобщённой функцией. Покажем, что -функцию сингулярную обобщённую функцию можно представить как предел в регулярных обобщённых функций. Введём функционал , где - «шапочка», - такое число, что Т. к. , то . Поэтому . Регулярную обобщённую функцию, соответствующую , обозначим . Докажем теперь, что -функции при в смысле сходимости в . Для этого нужно доказать, что такие, что при Т. к. непрерывная функция, то такое, что при Следовательно, при имеем: . Это означает, что при , т. е. -функции при в . Обратим внимание на поточечный предел: – это не есть классическая функция. -функцию можно представить как предел многих других последовательностей регулярных обобщённых функций. Пусть (ядро Дирихле порядка ) и пусть . Так же, как и при доказательстве теоремы о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, нетрудно доказать, что при . В самом деле, т. к. , то при . Это означает, что при в Оказывается, что любую сингулярную обобщённую функцию можно представить как предел последовательности регулярных обобщённых функций иначе говоря пространство обобщённых функций является пополнением пространства классических локально интегрируемых функций, т. е. получается путём добавления к пространству классических локально интегрируемых функций всех предельных элементов в смысле слабой сходимости.

(Аналогия: Множество всех вещественных чисел получается из множества рациональных чисел путём добавления всех пределов последовательностей рациональных чисел. Любое иррациональное число можно получить как предел последовательности рациональных чисел, поэтому все иррациональные числа окажутся добавленными по множеству рациональных чисел, т. е. множество всех вещественных чисел есть пополненные множества рациональных чисел.)

< Предыдущая