§3.7. Сходимость в среднем

Рассмотрим координатное пространство EM и рассмотрим две точки из этого пространства и рассмотрим .

Определение: Если на некотором множестве задана функция расстояния, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , причем Если ;

2)

3)

То говорят, что на данном множестве введена метрика, а само множество называется метрическим пространством.

Для последовательности точек в координатном пространстве {MN}M, при означает, что расстояние между любой точкой последовательности В этом случае говорят, что имеется сходимость в метрике этого пространства. Природа элементов метрического пространства может быть весьма разнообразна (например, функции). Введем метрику на множестве функций в метрическом пространстве.

Пример 1: Рассмотрим множество всевозможных ограниченных функций на сегменте . Введем метрику следующим образом: . Можно проверить, что функция удовлетворяет трем вышеперечисленным условиям. Сходимость при в метрике данного пространства означает, что при (равномерная сходимость), то есть сходимость в метрике рассматриваемого пространства соответствует ранее введенному понятию равномерной сходимости.

Пример 2: Рассмотрим множество кусочно-непрерывных функций на сегменте , удовлетворяющих в точках разрыва следующему условию: .

Для данного множества функций введем: .

Можно проверить, что введенная таким образом функция Удовлетворяет трем условиям функции расстояния. А введенное условие точки разрыва позволяет избежать ситуации при . Сходимость к означает, что при . Такая сходимость называется сходимостью в среднем. Введенное ограничение на значение функции в точках разрыва гарантирует, что предельная функция при сходимости в среднем будет определяться единственным образом.

Определение: Пусть функции и интегрируемы на сегменте , говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к функции на сегменте , если при .

Теорема 7: Пусть функции и интегрируемы на сегменте , если функциональная последовательность на сегменте , то в среднем не сегменте .

Док-во: Зададим некоторое достаточно малое значение , так как на , то такое, что, справедливо неравенство .

Поэтому : .

Это означает, что При , то есть мы имеем сходимость в указанной метрике или последовательность в среднем, ч. т.д.

Замечание: Обратное утверждение не верно, более того из сходимости в среднем, не следует обычная (поточечная) сходимость.

Пример 3: на , функции

Надо доказать, что в среднем на .

При .

Поэтому функциональная последовательность сходится к функции в среднем на сегменте . Но заметим, что ни в одной точке на функциональная последовательность не является сходящейся, так как . Таким образом функциональная последовательность будет состоять из бесконечного числа нулей и бесконечного числа единиц, то есть не будет сходиться. Из поточечной сходимости функциональной последовательности на не следует сходимость в среднем.

Пример 4:

при , то есть на сегменте имеет место поточечная сходимость. Но при этом

Сходимости в среднем не имеет место быть.

Определение: Говорят, что функциональный ряд сходится в среднем и на сегменте , если последовательность его частичных сумм Сходится в среднем к на , то есть

при

Сходимость в среднем представляет собой более слабое условие, чем равномерная сходимость, но, наряду с этим, является достаточным условием перехода к пределу под знаком интеграла, а сходимость в среднем для функциональных рядов является достаточным условием почленного интегрирования функционального ряда.

Теорема 8: Пусть функции и интегрируемы на . Пусть функциональная последовательность сходится в среднем к на , тогда

Причем для любого фиксированного верно на .

Доказательство:

По условию теоремы при

Следовательно, на .

Рассмотрим интеграл

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

при

Зададим, тогда правая часть полученного неравенства будет меньше чем. Тем самым из сегмента .

, ч. т.д.

Теорема 8’: Если функциональный ряд сходится в среднем на сегменте к функции и если все функции И интегрируемы на сегменте , то

То есть функциональный ряд можно интегрировать почленно, причем

на .

В доказательстве Теоремы 6’ условие 3 заменяется на условие, что ряд

Сходится в среднем на сегменте к некоторой непрерывной функции .

Теорема Арцела

Определение: Функциональная последовательность Называется равномерно ограниченной на множестве Х, если

Определение: Функциональная последовательность {fn(x)}называется равномерно непрерывной на Х, если

Теорема (теорема Арцела): Если функциональная последовательность равномерно ограничена и

Равномерно непрерывна на сегменте , то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сегменте .

< Предыдущая		Следующая >